一元二次方程测试题及答案

《一元二次方程》测试题一、填空题（每题2分，共20分）1．方程12x（x－3）=5（x－3）的根是_______．2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的有________．（1）2y2+y－1=0；（2）x（2x－1）=2x2；（3）21x－2x=1；（4）ax2+bx+c=0；（5）12x2=0．3．把方程（1－2x）（1+2x）=2x2－1化为一元二次方程的一般形式为________．4．如果21x－2x－8=0，则1x的值是________．5．关于x的方程（m2－1）x2+（m－1）x+2m－1=0是一元二次方程的条件是________．6．关于x的一元二次方程x2－x－3m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是定______________．7．x2－5│x│+4=0的所有实数根的和是________．8．方程x4－5x2+6=0，设y=x2，则原方程变形为___________________，原方程的根为________．9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________________（写一个即可）．10．代数式12x2+8x+5的最小值是_________．二、选择题（每题3分，共18分）11．若方程（a－b）x2+（b－c）x+（c－a）=0是关于x的一元二次方程，则必有（）．A．a=b=cB．一根为1C．一根为－1D．以上都不对12．若分式22632xxxx的值为0，则x的值为（）．A．3或－2B．3C．－2D．－3或213．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8，则x2+y2的值为（）．A．－5或1B．1C．5D．5或－114．已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x2－px+q可分解为（）．A．（x+2）（x+3）B．（x－2）（x－3）C．（x－2）（x+3）D．（x+2）（x－3）15．已知α，β是方程x2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（）．A．1B．2C．3D．416．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）．A．8B．8或10C．10D．8和10三、用适当的方法解方程（每小题4分，共16分）17．（1）2（x+2）2－8=0；（2）x（x－3）=x；（3）3x2=6x－3；（4）（x+3）2+3（x+3）－4=0．四、解答题（18，19，20，21题每题7分，22，23题各9分，共46分）18．如果x2－10x+y2－16y+89=0，求xy的值．19．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y+4=0①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2－4（x2+x）－12=0．20．如图，是丽水市统计局公布的2000～2003年全社会用电量的折线统计图．（1）填写统计表：2000～2003年丽水市全社会用电量统计表:年份2000200120022003全社会用电量（单位：亿kW·h）13.33（2）根据丽水市2001年至2003年全社会用电量统计数据，求这两年年平均增长的百分率（保留两个有效数字）．21．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．（1）若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．22．设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程12x2+bx+c－12a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为x=0．（1）试判断△ABC的形状．（2）若a，b为方程x2+mx－3m=0的两个根，求m的值．23．已知关于x的方程a2x2+（2a－1）x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数a，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．解：（1）根据题意，得△=（2a－1）2－4a20，解得a14．∴当a0时，方程有两个不相等的实数根．（2）存在，如果方程的两个实数根x1，x2互为相反数，则x1+x2=－21aa=0①，解得a=12，经检验，a=12是方程①的根．∴当a=12时，方程的两个实数根x1与x2互为相反数．上述解答过程是否有错误？如果有，请指出错误之处，并解答．答案:1．x1=3，x2=102．（5）点拨：准确掌握一元二次方程的定义：即含一个未知数，未知数的最高次数是2，整式方程．3．6x2－2=04．4－2点拨：把1x看做一个整体．5．m≠±16．m－112点拨：理解定义是关键．7．0点拨：绝对值方程的解法要掌握分类讨论的思想．8．y2－5y+6=0x1=2，x2=－2，x3=3，x4=－39．x2－x=0（答案不唯一）10．－2711．D点拨：满足一元二次方程的条件是二次项系数不为0．12．A点拨：准确掌握分式值为0的条件，同时灵活解方程是关键．13．B点拨：理解运用整体思想或换元法是解决问题的关键，同时要注意x2+y2式子本身的属性．14．C点拨：灵活掌握因式分解法解方程的思想特点是关键．15．D点拨：本题的关键是整体思想的运用．16．C点拨：本题的关键是对方程解的概念的理解和三角形三边关系定理的运用．17．（1）整理得（x+2）2=4，即（x+2）=±2，∴x1=0，x2=－4（2）x（x－3）－x=0，x（x－3－1）=0，x（x－4）=0，∴x1=0，x2=4．（3）整理得3x2+3－6x=0，x2－23x+1=0，由求根公式得x1=3+2，x2=3－2．（4）设x+3=y，原式可变为y2+3y－4=0，解得y1=－4，y2=1，即x+3=－4，x=－7．由x+3=1，得x=－2．∴原方程的解为x1=－7，x2=－2．18．由已知x2－10x+y2－16y+89=0，得（x－5）2+（y－8）2=0，∴x=5，y=8，∴xy=58．19．（1）换元降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2－4y－12=0，解得y1=6，y2=－2．由x2+x=6，得x1=－3，x2=2．由x2+x=－2，得方程x2+x+2=0，b2－4ac=1－4×2=－70，此时方程无解．所以原方程的解为x1=－3，x2=2．20．（1）年份2000200120022003全社会用电量（单位：亿kW·h）13.3314.7317.0521.92（2）设2001年至2003年平均每年增长率为x，则2001年用电量为14.73亿kW·h，2002年为14.73（1+x）亿kW·h，2003年为14.73（1+x）2亿kW·h．则可列方程：14.73（1+x）2=21.92，1+x=±1.22，∴x1=0.22=22%，x2=－2.22（舍去）．则2001～2003年年平均增长率的百分率为22%．21．（1）设每件应降价x元，由题意可列方程为（40－x）·（30+2x）=1200，解得x1=0，x2=25，当x=0时，能卖出30件；当x=25时，能卖出80件．根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意．故每件衬衫应降价25元．（2）设商场每天盈利为W元．W=（40－x）（30+2x）=－2x2+50x+1200=－2（x2－25x）+1200=－2（x－12.5）2+1512.5当每件衬衫降价为12.5元时，商场服装部每天盈利最多，为1512.5元．22．∵12x2+bx+c－12a=0有两个相等的实数根，∴判别式=（b）2－4×12（c－12a）=0，整理得a+b－2c=0①，又∵3cx+2b=2a的根为x=0，∴a=b②．把②代入①得a=c，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形．（2）a，b是方程x2+mx－3m=0的两个根，所以m2－4×（－3m）=0，即m2+12m=0，∴m1=0，m2=－12．当m=0时，原方程的解为x=0（不符合题意，舍去），∴m=12．23．上述解答有错误．（1）若方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程，∴a2≠0且满足（2a－1）2－4a20，∴a14且a≠0．（2）a不可能等于12．∵（1）中求得方程有两个不相等实数根，同时a的取值范围是a14且a≠0，而a=1214（不符合题意，值，使方程的两个实数根互为相反数．