高考数学专题-椭圆、双曲线、抛物线

1/19高考数学专题-椭圆、双曲线、抛物线高考定位1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.真题感悟1.(·全国Ⅱ卷)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A.y＝±2xB.y＝±3xC.y＝±22xD.y＝±32x解析法一由题意知，e＝ca＝3，所以c＝3a，所以b＝c2－a2＝2a，即ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±2x.法二由e＝ca＝1＋ba2＝3，得ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±2x.答案A2.(·全国Ⅰ卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM→·FN→＝()A.5B.6C.7D.8解析过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y＝23(x＋2)，由y＝23（x＋2），y2＝4x，得x2－5x＋4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y10，y20，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以FM→＝(x1－1，y1)，FN→＝(x2－1，y2)，所以2/19FM→·FN→＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4x1x2＝4－5＋1＋8＝8.答案D3.(·全国Ⅱ卷)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14解析由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，过P作PE垂直x轴，则∠PF2E＝60°，所以F2E＝c，PE＝3c，即点P(2c，3c).∵点P在过点A，且斜率为36的直线上，∴3c2c＋a＝36，解得ca＝14，∴e＝14.答案D4.(·全国Ⅰ卷)设椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0).(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.(1)解由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.把x＝1代入椭圆方程x22＋y2＝1，可得点A的坐标为1，22或1，－22.又M(2，0)，所以AM的方程为y＝－22x＋2或y＝22x－2.(2)证明当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，3/19则x12，x22，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝y1x1－2＋y2x2－2.由y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)得kMA＋kMB＝2kx1x2－3k（x1＋x2）＋4k（x1－2）（x2－2）.将y＝k(x－1)代入x22＋y2＝1得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.所以，x1＋x2＝4k22k2＋1，x1x2＝2k2－22k2＋1.则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝4k3－4k－12k3＋8k3＋4k2k2＋1＝0.从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补.所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB.考点整合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).温馨提醒应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝ca＝1－b2a2.②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝ca＝1＋b2a2.4/19(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0).②双曲线y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±abx，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y2＝2px(p0)的焦点Fp2，0，准线方程x＝－p2.②抛物线x2＝2py(p0)的焦点F0，p2，准线方程y＝－p2.4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2.(2)过抛物线焦点的弦长抛物线y2＝2px(p0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.热点一圆锥曲线的定义及标准方程【例1】(1)(·天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y29＝1D.x29－y23＝1(2)(2018·烟台二模)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且FM→＝MN→，则|NT|＝________.解析(1)由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为5/19双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，所以ca＝2，所以a2＋b2a2＝4，所以a2＋9a2＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为x23－y29＝1.(2)由x2＝4y，知F(0，1)，准线l：y＝－1.设点M(x0，y0)，且x00，y00.由FM→＝MN→，知点M是线段FN的中点，N是FT中点，利用抛物线定义，|MF|＝|MM′|＝y0＋1，且|FF′|＝2|NN′|＝2.又2(y0＋1)＝|FF′|＋|NN′|＝3，知y0＝12.∴|MF|＝12＋1＝32，从而|NT|＝|FN|＝2|MF|＝3.答案(1)C(2)3探究提高1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例(2)中充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】(1)(·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A.x28－y210＝1B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1D.x24－y23＝1(2)(·衡水中学调研)P为椭圆C：x22＋y2＝1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，记动点Q的轨迹为Ω，设点B为椭圆C短轴上一顶点，直线BF2与Ω交于M，N两点，则|MN|＝________.解析(1)由题设知ba＝52，①又由椭圆x212＋y23＝1与双曲线有公共焦点，易知a2＋b2＝c2＝9，②由①②解得a＝2，b＝5，则双曲线C的方程为x24－y25＝1.(2)∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝22，且|PQ|＝|PF2|，6/19∴|F1Q|＝|F1P|＋|PF2|＝22.∴Ω为以F1(－1，0)为圆心，22为半径的圆.∵|BF1|＝|BF2|＝2，|F1F2|＝2，∴BF1⊥BF2，故|MN|＝2|F1M|2－|BF1|2＝2（22）2－（2）2＝26.答案(1)B(2)26热点二圆锥曲线的几何性质【例2】(1)(·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，则点(4，0)到C的渐近线的距离为()A.2B.2C.322D.22(2)(·北京卷改编)已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，双曲线N：x2m2－y2n2＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________.解析(1)法一由离心率e＝ca＝2，得c＝2a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为41＋1＝22.法二离心率e＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，∴点(4，0)到C的渐近线的距离为41＋1＝22.(2)设椭圆的右焦点为F(c，0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知Ac2，3c2，由点A在椭圆M上得，c24a2＋3c24b2＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∵b2＝a2－c2，∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，则4a4－8a2c2＋c4＝0，e4－8e2＋4＝0，∴e2＝4＋23(舍)，e2＝4－23.由0e1，7/19得e＝3－1.答案(1)D(2)3－1探究提高1.分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式.建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.求双曲线渐近线方程关键在于求ba或ab的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.【训练2】(1)(·成都质检)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E(0，t)(0tb).已知动点P在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为4b，则椭圆C的离心率为()A.32B.22C.12D.33(2)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.解析(1)由椭圆的定义及对称性，△PEF2的周长的最小值为2a.∴2a＝4b，a＝2b，则c＝a2－b2＝3b，则椭圆C的离心率e＝ca＝32.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程：x2a2－y2b2＝1，x2＝2py，消去x得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝2b2a2p，又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋p2＋y2＋p2＝4×p2，即y1＋y2＝p，8/19∴2b2a2p＝p，即b2a2＝12ba＝22.∴双曲线渐近线方程为y＝±22x.答案(1)A(2)y＝±22x热点三直线与圆锥曲线考法1直线与圆锥曲线的位置关系【例3－1】(·