二项式定理经典题型及详细答案

二项式定理经典考点例析考点1：二项式系数与项的系数1、在2831(2)xx的展开式中，求：（1）第5项的二项式系数及第5项的系数.（2）2x的系数.2.若1()nxx展开式中第2项与第6项的系数相同，则展开式的中间一项的系数为___________.3.已知二项式102(3)3xx求（1）第四项（2）展开式第四项的二项式系数（3）展开式第四项的系数考点2：二项式定理逆用1、5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)xxxxx=_____________2、5432)12()12(5)12(10)12(10)12(51xxxxx=_____________考点3：求二项式展开式中的特定项2.1、某一项【例题】1、二项式3522()xx的展开式中5x的系数___________；2.二项式43(1)(1)xx的展开式中2x的系数是___________.3.若4(12)2ab，（,ab为有理数），则ab=___________.4.二项式8(2)x展开式中不含4x项的系数的和为___________.5、二项式53)31()21(xx的展开式中4x的系数___________.【练习】1.二项式4(1)x的展开式中2x的系数为___________..2.二项式210(1)x的展开式中，4x的系数为___________.3.二项式61(2)xx展开式中含2x项的系数为___________.4.二项式533)1()21(xx的展开式中x的系数___________.2.2、常数项和有理项【例题】1.二项式61(2)2xx的展开式的常数项是___________.2、二项式1003(32)x的展开式中x的系数为有理数的项的个数___________.3.二项式261(1)()xxxx的展开式中的常数项为___________.4.二项式5)12(xx的展开式中常数项是___________.【练习】1.831()2xx的展开式中的常数项___________.2.在261()xx的展开式中，常数项是___________.3.二项式5)44(xx的展开式中常数项是___________.4.二项式54)31()21(xx的展开式中常数项是___________.考点4：求展开式中的各项系数之和的问题1、已知7270127(12)...xaaxaxax.求：（1）0a；（2）763210aaaaaa；（3）763210aaaaaa（4）6420aaaa；（5）7531aaaa；（6）2753126420)()(aaaaaaaa.（7）||||||||||||763210aaaaaa.（8）7766321022842aaaaaa；（9）7766321022842aaaaaa；2.在二项式9(23)xy的展开式中，求：（1）二项式系数之和；（2）各项系数之和；（3）所有奇数项系数之和；（4）所有项的系数的绝对值之和.3.利用二项式nnnnnnnnxCxCxCxCCx432210)1(展开式nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC32842)4(2)3(0)1()2(2)1(3210153142032103210考点5：多项式的展开式最大项问题【例题】1、二项式9)21(x展开式中，(1)二项式系数的最大项(2)系数的最大项2、二项式12)21(x展开式中（1）求展开式中系数的绝对值最大的项.（2）求展开式中系数最大的项.（3）求展开式中系数最小的项.3、已知()(1)(12)(,)mnfxxxmnN的展开式中含x项系数为11，求()fx展开式中2x项系数的最小值．4、nxx)1(4展开式中含x的整数次幂的项的系数之和为__________．【练习】1、2102()xx的展开式中系数最大的项；2、求7(12)x展开式中系数最大的项．3、设2x，试问50(1)x展开式中第几项最大？4、已知nxx2323展开式中各项系数的和比各项的二项式系数的和大992，（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项.考点6：含参二次函数求解【例题】1.【特征项】在二项式25()axx的展开式中x的系数是-10，则实数a的值是___________.2.【常数项】若32()nxx的展开式中存在常数项，则n的值可以是___________.3.【有理项】已知411()2nxx的展开式中，前三项的系数成等差数列，展开式中的所有有理项________.4.【特征项】在210(1)xpx的展开式中，试求使4x项的系数最小时p的值.5.【系数最大】已知1(2)2nx的展开式中，第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项．【练习】1.若9()axx的展开式中3x的系数是-84，则a___________.2.已知2()nxx的展开式中第5项系数与第3项的系数比56:3，则该项展开式中2x的系数_____.3.若二项式22()nxx的展开式中二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为___________4.已知(13)nx的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．考点7：求解某些整除性问题或余数问题1.求证22*389()nnnN能被64整除.2.9291被100整除所得的余数为_________3.设21(*)nkkN，则11221777...7nnnnnnnCCC被9除所得的余数为_________4.求证：（1）51511能被7整除；（2）2332437nn能被64整除.5.如果今天是星期一，那么对于任意的自然数n，经过33(275)nn天是星期几？考点8：计算近似值1、求60.998的近似值，使误差小于0.001.2、求51.997精确到0.001的近似值.考点9：有关等式与不等式的证明化简问题1、求121010101010124...2CCC的值.2、化简：1231248...(2)nnnnnnCCCC.3、求证：01121*(2)!...()(1)!(1)!nnnnnnnnnCCCCCCnNnn.4、证明下列等式与不等式（1）123123...2nnnnnnCCCnCn.（2）设,,abc是互不相等的正数，且,,abc成等差数列，*nN，求证2nnnacb.【练习】1、nnnnnnCCCC2222210；2、nnnnnnnnCCCCC2)1(22232210；3、求证：12122nnnnnnnCCC4、求证：nnnnnnnCCCCC22222120)()()()(5、已知7292222210nnnnnnCCCC，求nnnnCCC21考点10：创新型题目1、对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：①展开式中T1000=－C19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）2、规定!)1()1(mmxxxCmx，其中x∈R，m是正整数，且10xC，这是组合数mnC（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．(1)求315C的值；(2)设x０，当x为何值时，213)(xxCC取得最小值？(3)组合数的两个性质；①mnnmnCC.②mnmnmnCCC11.是否都能推广到mxC（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.3、对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!；②2006!!=21003·1003!；③2006!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5．正确的命题是________．