【数学】-2.3.2《两个变量的线性相关》课件(新人教B版必修3)

2.3.2两个变量的线性相关例1：下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温/℃261813104－1杯数202434385064（1）将上表中的数据制成散点图.（2）你能从散点图中发现温度与饮料杯数近似成什么关系吗?（3）如果近似成线性关系的话，请画出一条直线方程来近似地表示这种线性关系.（1）画出散点图：温度杯数（2）从图中可以看出温度与杯数具有相关关系，当温度由小到大变化时，杯数的值由大到小.所以温度与杯数成负相关.图中的数据大致分布在一条直线附近，因此温度与杯数成线性相关关系。（3）根据不同的标准，可以画出不同的直线来近似地表示这种线性关系。如可以连接最左侧和最右侧的点，或者让画出的直线上方的点和下方的点的数目相同。温度杯数温度杯数由图可见，所有数据的点都分布在一条直线附近，显然这样的直线还可以画出许多条，而我们希望找出其中的一条，它能最好地反映x与Y之间的关系。换言之，我们要找出一条直线，使这条直线“最贴近”已知的数据点。记此直线方程是ˆybxaˆybxa这里在y的上方加记号“^”，是为了区分Y的实际值y.表示当x取xi(i=1，2，…，6)时，Y相应的观察值为yi，而直线上对应于xi的纵坐标是yi=bxi+a.^上式叫做Y对于x的回归直线方程，b叫做回归系数。要确定回归直线方程，只要确定a与b.回归直线的方程的求法：设x，Y的一组观察值为(xi，yi)(i=1，2…，n)且回归直线的方程为ˆybxa当变量x取xi(i=1，2，…，n)时，可以得到：(i=1，2，…，n)，ˆiiybxa它与实际收集到的yi之间的偏差是：ˆiiiyyybxa(i=1，2，…，n)，可见，偏差的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表n个点与相应直线在整体上的接近程度。故采用n个偏差的平方和2221122()()()nnQybxaybxaybxa表示n个点与相应直线在整体上的接近程度.记21()niiiQybxa(∑为连加符号)上式展开后，是一个关于a，b的二次多项式，应用配方法，可求使Q取得最小值时a、b的值.这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条。由于平方又叫做二乘方，所以这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做“最小二乘法”。用最小二乘法求回归直线方程中a，b有下面的公式：1122211()()ˆ,()ˆ.nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnxaybx其中11,niixxn11niiyyn同样a，b的上方加“^”，表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值。由于，故巧合的是：(xi，yi)(i=1，2，…，n)的中心点在回归直线上，x处的估计值为.ybxa(,)xyˆybxa例2.在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度Y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如下表：x/s5101520304050607090120Y/μm610101316171923252946（1）画出表中数据的散点图；（2）求Y对x的回归直线方程；（3）试预测腐蚀时间为100时腐蚀深度是多少？解：（1）散点图如下（2）根据公式求腐蚀深度Y对腐蚀时间x的回归直线方程。序号xYx2xy15625302101010010031510225150420134002605301690048064017160068075019250095086023260013809702549001750109029810026101112046144005520∑5102143678013910计算a,b的值.^^由上表分别计算x，y的平均数得11214,11510yx304.03043.0)11510(113675011214115101113910ˆ2b346.5115103043.011214ˆa写出回归方程为y=0.304x+5.346.^（3）根据求得的回归方程，当腐蚀时间为100s时，y=0.304×100+5.346=38.86(μm)^即腐蚀深度约为38.86μm.练习题1．下列说法正确的是（）（A）y=2x2+1中的x，y是具有相关关系的两个变量（B）正四面体的体积与其棱长具有相关关系（C）电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系（D）传染病医院感染“非典”的医务人员数与医院收治的“非典”病人数是具有相关关系的两个变量D2.有关线性回归的说法，不正确的是()A.相关关系的两个变量不是因果关系B.散点图能直观地反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任一组数据都有回归方程D3.下面哪些变量是相关关系()A.出租车费与行驶的里程B.房屋面积与房屋价格C.身高与体重D.铁的大小与质量C4.回归方程y=1.5x－15，则()A.y=1.5x－15B.15是回归系数aC.1.5是回归系数aD.x=10时，y=0^A5.线性回归方程y=bx+a过定点________.^(x,y)6.已知回归方程y=4.4x+838.19，则可估计x与y的增长速度之比约为________.^522