概率论基础知识

概率论复习第一章随机事件第二章随机事件的概率第三章随机变量及其分布第五章大数定律及中心极限定理第四章随机变量的数字特征1.1、随机现象1.2、随机试验1.3、样本空间样本点1.4、随机事件的概念第一章随机事件在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.具有统计规律性2.随机现象在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.1.确定性现象1.1、随机现象随机现象的特征条件不能完全决定结果1.2、随机试验1.可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.定义在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.规定不含任何元素的空集为不可能事件，用表示。1.3、样本空间样本点样本空间随机试验中，每一个可能结果称为该试验的一个样本点（或基本事件）,记为.全体样本点组成的集合称为该试验的样本空间，记为。E1:抛一枚硬币，观察正(H)反(T)面的情况.={H,T}1=H,2=TE4:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.4={0，1，2，}1=0,2=1,3=2E3:掷一颗骰子,观察点数.则3={1,2,3,4,5,6}1=12=26=6E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.2={HHH,THH，HTH,HHT,HTT,THT,TTH,TTT}1.4、随机事件的概念随机事件随机试验E的样本空间的子集(或某些样本点的子集），称为E的随机事件,简称事件.例如随机实验抛三次硬币，H代表正面，T代表反面随机事件A＝“至少出一个正面”＝{HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH}；B=“三次出现同一面”={HHH,TTT}C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH}随机事件间的关系对立差互斥(互不相容)交（积）和（并）包含事件关系事件的互不相容(互斥)若事件A、B满足则称事件A与B互不相容..ABBA图示A与B互斥AB说明当AB=时,可将AB记为“直和”形式A+B.任意事件A与不可能事件为互斥.若事件A、B满足则称A与B为互逆事件.A的逆记作.A.ABBA且事件的互逆图示A与B的对立.BAA对立事件与互斥事件的区别ABABAA、B对立A、B互斥.ABBA且,AB互斥对立概率论与集合论之间的对应关系记号概率论集合论样本空间,必然事件不可能事件基本事件随机事件A的对立事件A出现必然导致B出现事件A与事件B相等空间(全集)空集元素子集A的补集A是B的子集A集合与B集合相等eAAABABBA事件A与事件B的差A与B两集合的差集AB事件A与B互不相容A与B两集合中没有相同的元素BA事件A与事件B的和A集合与B集合的并集AB事件A与B的积事件A集合与B集合的交集第二章随机事件的概率2.1频率与概率2.2古典概型2.3条件概率2.4全概率公式和贝叶斯公式2.5事件的独立性2.1频率与概率5s*24000/3600=33.3h概率的统计定义直观地描述了事件发生的可能性大小，反映了概率的本质内容，但也有不足，即无法根据此定义计算某事件的概率。2.2、古典概型若随机试验满足以下特征：(1)试验的可能结果只有有限个；则称此试验为古典概型.(2)各个结果的出现是等可能的.古典概型中事件概率的计算公式设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及事件A分别为：Ω={ω1，ω2，…，ωn}A={ωi1，ωi2，…，ωik}则随机事件A的概率为：中的基本事件总数中包含的基本事件数事件AnkAP)(2.3条件概率()0,()(|)().PBPABPABPBBAFFF件概率若（，，P）是一个概率空间，B，且对任意的A，称为在事件发生的条件下，事条件发生的ABAB);()()()()3(212121BAAPBAPBAPBAAP).(1)()4(BAPBAP则有件是两两不相容的事设可加可列性,,,A,A:)5(21.)BA(PBAP1ii1ii;1)(0:)1(BAP有界性0)B|(PBP1,)((2)规范性条件概率的性质乘法定理则有且,0)(121nAAAP,2,,,,21nnAAAn个事件为设推广则有且为事件设,0)(,,,ABPCBA()()()().PABCPAPBAPCAB()0,()()()()().PAPABPBAPAPABPB设则有)()()()()(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP2.4全概率公式和贝叶斯公式:::21一组事件满足若定义n,B,,BB1.样本空间的划分,...,n,,j,i,j,iBBji21(i)Ω,Bnii1(ii).B,B,n21的一个划分本空间为样则称B例学生在回答多项选择题时，或者知道答案或猜测答案。假定他知道答案的概率是p，而猜的概率是1-p。假设他猜对的概率为1/m，其中m是选项数。问已知学生答题正确时，他确实知道答案的概率是多少？2.5事件独立性(一)两个事件的独立性,,()()(),,,.ABPABPAPBABAB设是两事件如果满足等式则称事件相互独立简称独立（二）n个事件的独立性设A1，A2，…，An为n个事件，若对于任意k(1≤k≤n),及1≤i1i2···ik≤n)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP有.21相互独立，，则称nAAA事件A与B相互独立,是指事件A的发生与事件B发生的概率无关.2º独立与互斥的关系这是两个不同的概念.两事件相互独立)()()(BPAPABP两事件互斥AB二者之间没有必然联系独立是事件间的概率属性互斥是事件间本身的关系1º定义2:设A,B,C是三个事件,若满足:P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称A,B,C为相互独立的事件.定义3：对n个事件A1,A2,…,An,如果对所有可能的组合1≤ijk…≤n成立着P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An),则称这n个事件A1,A2,…,An相互独立.定义4：设A1,A2,…,An是n个事件，如果对任意的1≤ij≤n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),则称这n个事件两两独立.注：若n个事件相互独立，必蕴含这n个事件两两相互独立.反之不成立。例同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每一四面体的面分别标有号码1，2，3，4令A={第一个四面体出现偶数}B={第二个四面体出现奇数}C={两个四面体同时出现偶数或同时出现奇数}验证A、B、C的独立性故A、B、C三事件不相互独立但两两独立。)(21168)(BPAP21)(CP)()(41164)(BPAPABP)()(41164)(CPAPACP)()(41164)(CPBPBCP0)(ABCP81)()()(CPBPAP第三章随机变量及其分布§3.1随机变量的概念§3.2随机变量的分布函数§3.3离散型随机变量的概率分布§3.4连续型随机变量的概率密度§3.5随机变量的函数的分布§3.6多维随机变量及其分布§3.1随机变量的概念例1从一批产品中任意抽取k件,观察出现的“废品数”X1,依试验结果不同X1的所有可能取值为:0,1,2,…,k.K+1个结果可用(X1=j)表示.例2记录某接待站一天中来访的人数X2,“接待k个人”可用(X2=k)表示.定义如果对于样本空间中每个样本点，都有唯一的一个实数X()与之对应，则称X()为随机变量．简记X()为X.随机变量分类：(1)离散型，(2)连续型.§3.2随机变量的分布函数定义：X是一随机变量,对任意xR,函数F(x)=P{X≤x}称为X的分布函数.P{x1X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1).2.性质:(1)F(x)是单调不减函数.(单调性)x2x1,F(x2)-F(x1)0.(2)0≤F(x)≤1且(规范性)(3)F(x)至多有可列个间断点,而在其间断点x0处是右连续的,1)x(lim)(,0)x(lim)(xxFFFF)x()0x()x(lim00x0FFFx(右连续性)§3.3离散型随机变量的概率分布1.定义若随机变量全部可能取值是有限或可列无穷多,则称为离散型随机变量.,...)3,2,1:2.(kxXk值为所有可能取设离散型随机变量分布律(1)1,2,...,kp)xP(Xkk则称(1)式为离散型变量的分布律。分布律的性质：.1(2),...210(1)1kkkp,,kp或列表若离散型随机变量X的分布律为),1,2()(kpxXPkk则X的分布函数为xxxxk)x())x(()x()x(kkXPXPXPFkxxk)x(kpF即几种重要的离散型随机变量的分布律：(一)0-1分布设随机变量X只可能取0和1两个数值，其分布为P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.其中0p1,则称X服从(0-1)分布。设A是随机事件，P(A)=p(0p1),记发生发生AAX01,则X服从(0-1)分布.试验。这样的试验称为贝努利且与只有两个可能结果设试验定义,)10()(,:ppAPAAE(二)二项分布将试验E独立重复地进行n次得到的试验序列称为n重贝努利试验。以X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数则发生次试验中第—,AiAinkqpCkXPknkkn,,2,1,0,)(称随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记为).,(~pnBX假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1-P，且各发动机的互不影响，如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利的飞行，问对于多大的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？波音747A380波音777四发动机飞机：∵正常运行时2台或3台或4台发动机正常运行2台发动机正常运行另外2台故障概率C(4.2)*P²(1-p)²=6P²(1-p)²3台发动机正常运行另外1台故障概率C(4.3)*P³(1-p)=4P³(1-p)4台发动机正常运行概率概率P^4∴四发动机飞机正常运行概率6P²(1-p)²+4P³(1-p)+P^4=P²[6(1-p)²+4P(1-p)+P²]=P²(3p²-8p+6)二发动机飞机：∵正常运行时1台或2台发动机正常运行1台发动机正常运行另外1台故障概率C(2.1)*P(1-p)=2P(1-p)2台发动机正常运行概率P²∴二发动机飞机正常运行概率2P(1-p)+P²=P[2(1-p)+P]=p(2-p)∴四发动机飞机比二发动机飞机更安全时P²(3p²-8p+6)＞p(2-p)(3p-2)(p-1)²＞03p-2＞0∴p＞2/3∴当p＞2/3时四发动机飞机比二发动机飞机更安全P2/3,双发更安全但由于发动机性能日益提高，且四发经济性较差，已无明显优越性，除非超大客机越洋长距离飞行例某种产品的次品率为2%,随机抽查200件，则次品数不多于6件的概率是多少？解设抽出的次品数为X,则0.02).(200,~BX...,200.1,0,k,)98.0()02.0()(200200kkkCkXP60)()6(jjXPXPjjjjC20060200)98.0()02.0(当n较大,p又较小时,二项分布的计算比较困难,可以用Poisson分布近似计算.(三)泊松分布(Poisson)).(~.,0,...,2,1,0,!}{PXXkkekXPXk记为分布的泊松服从参数为则称是常数其中的分布为若离散随机变量泊松(Poisson)分布：{},~(,),nnXXBnp,!