2020年全国3卷-理科数学

2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅲ)理科数学试卷第1页（共4页）2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅲ)理科数学试卷试卷编辑:石廷有一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合yxyxA,|),{(*,N}8|),{(},yxyxBxy,则BA的元素个数为()A.2B.3C.4D.62.复数i311的虚部是()A.103B.101C.101D.1033.在一组样本数据中,4,3,2,1出现的频率分别为4321,,,pppp,且141iip,则下面四种情形中,对应的标准差最大的一组是()A.4.0,1.03241ppppB.1.0,4.03241ppppC.3.0,2.03241ppppD.2.0,3.03241pppp4.Logistic模型是常用的数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数ttI)((的单位:天)的Logistic模型:)53(23.01)(teKtI,其中K为最大确诊病例数.当KtI95.0)(*时,标志着已经初步遏制疫情,则*t约为(319ln)()A.60B.63C.66D.695.设O为坐标原点,直线2x与抛物线)0(2:2ppxyC交于ED,两点,若OEOD,则C的焦点坐标为()A.)0,41(B.)0,21(C.)0,1(D.)0,2(6.已知向量ba,满足6,6||,5||baba,则baa,cos()A.3531B.3519C.3517D.35197.在ABC中,3,4,32cosBCACC,则Bcos()A.91B.31C.21D.328.右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是()A.246B.244C.236D.2349.已知7)4tan(tan2,则tan()A.2B.1C.1D.22222020年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅲ)理科数学试卷第2页（共4页）10.若直线l与曲线xy和圆5122yx都相切,则l的方程为()A.12xyB.212xyC.121xyD.2121xy11.设双曲线)0,0(1:2222babyaxC的左、右焦点分别为21,FF,离心率为5.P是C上的一点,且PFPF21,若21FPF的面积为4,则a()A.1B.2C.4D.812.已知5485813,85.设8log,5log,3log1385cba,则()A.cbaB.cabC.acbD.bac二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若yx,满足1020xyxyx,则yxz23的最大值为14.62)2(xx的展开式中常数项为(用数字作答).15.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为16.关于函数xxxfsin1sin)(有如下四个命题:①)(xf的图象关于y轴对称;②)(xf的图象关于原点对称;③)(xf的图象关于直线2x轴对称;④)(xf的最小值为2.其中所有真命题的序号是三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生必须作答。第22、23题为选做题，考生根据要求作答。(一)必做题：共60分。17.(12分)设数列}{na满足naaann43,311.(1)计算32,aa,猜想}{na的通项公式并加以证明;(2)求数列}2{nna的前n项和nS.2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅲ)理科数学试卷第3页（共4页）18.(12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到公园锻炼的人数,整理数据得到下表(单位:天):锻炼人次空气质量等级]200,0[]400,200(]600,400(1(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为4,3,2,1的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面22列联表,并根据列联表,判断能否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天空气质量有关?人次400人次400空气质量好空气质量不好附:))()()(()(22dbcadcbabcadnK,19.(12分)如图,在长方体1111DCBAABCD中,点FE,分别在棱11,BBDD上,且112,2FBBFEDDE.(1)证明:点1C在平面AEF内;(2)若3,1,21AAADAB,求二面角1AEFA的正弦值.)(2kKP0.0500.0100.001k3.8416.63510.828ABCDA1B1C1D1EF2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅲ)理科数学试卷第4页（共4页）20.(12分)已知椭圆)50(125:222mmyxC的离心率为BA,,415分别为C的左、右顶点.(1)求C的方程;(2)若点P在C上,点Q在直线6x上,且BQBPBQBP|,|||,求APQ的面积.21.(12分)设函数cbxxxf3)(,曲线)(xfy在点))21(,21(f处的切线与y轴垂直.(1)求b;(2)若)(xf有一个绝对值不大于1的零点,证明:)(xf所有零点的绝对值都不大于1.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按照所做的第一题计分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为tttyttx(,32222为参数且)1t,C与坐标轴交于BA,两点.(1)求||AB;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)设cba,,R,1,0abccba.(1)证明:0cabcab;(2)用},,max{cba表示cba,,的最大值,证明:34},,max{cba.