高中物理竞赛辅导讲义-第8篇-稳恒电流

—1—高中物理竞赛辅导讲义第8篇稳恒电流【知识梳理】一、基尔霍夫定律（适用于任何复杂电路）1．基尔霍夫第一定律（节点电流定律）流入电路任一节点（三条以上支路汇合点）的电流强度之和等于流出该节点的电流强度之和。即∑I=0。若某复杂电路有n个节点，但只有（n−1）个独立的方程式。2．基尔霍夫第二定律（回路电压定律）对于电路中任一回路，沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零。即∑U=0。若某复杂电路有m个独立回路，就可写出m个独立方程式。二、等效电源定理1．等效电压源定理（戴维宁定理）两端有源网络可以等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路端电压，其内阻等于从网络两端看除源（将电动势短路，内阻仍保留在网络中）网络的电阻。2．等效电流源定理（诺尔顿定理）两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的电流I0等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除源网络的电阻。三、叠加原理若电路中有多个电源，则通过电路中任一支路的电流等于各个电动势单独存在时，在该支路产生的电流之和（代数和）。四、Y−△电路的等效代换如图所示的（a）（b）分别为Y网络和△网络，两个网络中的6个电阻满足一定关系时完全等效。1．Y网络变换为△网络122331123RRRRRRRR，122331231RRRRRRRR122331312RRRRRRRR2．△网络变换为Y网络12311122331RRRRRR，23122122331RRRRRR，31233122331RRRRRR—2—五、电流强度与电流密度1．电流强度（1）定义式：qIt。（2）宏观决定式：UIR。（3）微观决定式：IneSv。2．电流密度在通常的电路问题中，流过导线截面的电流用电流强度描述就可以了，但在讨论大块导体中电流的流动情况时，用电流强度描述就过于粗糙了。这是因为电流在截面上将会有一个强弱不同的分布，而且各点的电流方向可能并不一致。为了“精细”地描述导体中各点电流的大小和方向，引入电流密度，记为j。电流密度是一个矢量。（1）电流密度大小：IjS。ΔS是垂直电流方向的面积。（2）电流密度方向：在导体中各点，电流密度方向与该点电流的方向相同。六、电阻定律与欧姆定律1．电阻定律：LRS。电阻率ρ与导体材料和温度有关，与导体的形状尺寸无关。在温度变化范围不大时，电阻率与温度间存在线性关系0(1)t。其中ρ0是0℃时的电阻率，ρ是t℃时的电阻率，α是电阻率温度系数。α在一段不大的温度间隔内可视为常量。实验得，金属导体α0，碳α0。2．欧姆定律：UIR。欧姆定律描述一段长度和截面积均为有限大小的导体的导电规律，它被广泛应用于直流电路和交流电路的分析之中。然而，在某些情况下，这种描述显得过于粗糙，需要逐点分析电流密度j和电场强度E的关系。对于各向同性导体，这个关系可以从上式导出。设想在载有稳恒电流的各向同性导体内取一长度为Δl，垂直截面积为ΔS的小电流管。只要Δl和ΔS足够小，就可以忽略垂直截面积ΔS沿电流管的微小变化。与此同时，只要电流管足够小，管内的电流场和导体元均可近似视为均匀的。UIR，IjS，UEl，llRSS。式中1，称为电导率。由以上各式得到jE。上式称为欧姆定律的微分形式。七、物质的导电性1、金属的导电性2、液体的导电性—3—法拉第电解第一定律：电解质导电时，在极板处析出物质的质量m与通电时间t和电流强度I成正比，或者说与通过电解液的电量q成正比，即m=KIt=Kq。式中K是比例恒量，称为电化当量，单位是kg/C，即通过1库仑电量时极板处析出的物质的质量。K值大小与被析出物质种类有关，可根据mKIt由实验测定。法拉第电解第二定律：物质的电化当量K跟它的化学当量Mn成正比，即MKFn。式中F称为法拉第恒量，对任何物质都相同，实验测得F=9.65×104C/mol。M为该物质的摩尔质量，n为化合价。联立两条定律的表达式，得到MmqFn。当Mmn时，F=q。所以，法拉第恒量可以理解为：析出物质的数值等于化学当时，需要通过电解质的电量。3、气体的导电性4、真空中的电流5、半导体导电6、超导现象简介【例题选讲】1．如图所示的电路中，已知电源电动势E1=3.0V，E2=1.0V，内阻r1=0.50Ω，r2=1.0Ω，电阻R1=4.5Ω，R2=10.0Ω，R3=19.0Ω，R4=5.0Ω，求电路中三条支路上的电流强度。2．如图所示的电路中，已知电源电动势E=1.5V，电源内阻r=0.1Ω，电阻R1=1Ω，R2=1.6Ω，R3=R5=2Ω，R4=1.2Ω。试求总电流及各分支电流。E1E2R4R2R1R3r2r1ErR1R2R4R3R5—4—3．如图所示电器中，E1=4.0V，E2=1.0V，R1=10Ω，R2=20Ω，R3=30Ω，电源内阻不计。电容C=500μF。求电容C电荷量。4．正四面体ABCD，每条边的电阻均为R，取一条边的两个顶点，如图中A、B，问整个四面体的等效电阻RAB为多少？5．如图所示的电路中，12个相同的电阻阻值均为R。试求a、b两端的等效电阻Rab为多少？6．有7根电阻均为R的电阻丝，连成如图所示的电阻网络，试求A、B两点之间的等效电阻。RRRRRRRABABDCabcdefjhiE1E2R2R1R3C—5—7．如图所示的有限网络电路中，除最后一只电阻为Rx外，其余电阻阻值都是R，那么要使A、B两点间的等效电阻与网络级数n无关，Rx为多大？8．如图所示的无限网络，R0=3R，其他每根电阻丝均为R，求A、B间的电阻RAB。9．用均匀电阻线作成的正方形回路，由九个相同的小正方形组成，小正方形每边的电阻均为R。（1）在A、B两点间接入电池，其电动势E，内阻可忽略，求流过电池的电流强度。（2）若用导线（不计导线电阻）连接C、D两点，求通过此导线的电流。10．一无限平面导体网络，它由相同的正方形网眼组成，如图所示。所有正方形的每边均为阻值等于R的电阻丝。（1）求结点A、B间的电阻；（2）若仅将A、B间的一根电阻丝换成阻值为3R的电阻，则A、B间的电阻为多大？ABRRRRRRRRRRRxnABR0ABCDAB—6—11．有一无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所示。所有六边形每边的电阻均为r。求结点a、b间的电阻Rab。12．一根均匀导线的电阻为1000Ω，允许通过的最大电流为1A。在电网电压为220V时，如何利用这根导线做成一个功率尽可能大的电热器？并求出最大功率。13．由6个未必相同的电阻和电压U=10V的直流恒压电源构成的电路如图（a）所示，其中电源输出电流I0=3A。若如图（b）所示，在电源右侧并联一个电阻（电阻记为Rx），则电源输出电流I=5A。今将此电源与电阻Rx串联后，改接在C、D两点右侧，如图（c）所示，试求电源输出电流I'。ABCDURxABCDUI0I0ABCDURxII（a）（b）（c）abc—7—14．如图所示电路，电源内阻不计。（1）求流过电阻R的电流I，I的方向如何由R1和R2的相对大小而定？（2）设R1=R，R2−R1=ΔRR，写出I的近似式。（精确到小量ΔR/R的一次方）15．电阻丝无穷网络如图所示，每两个结点之间的电阻丝的电阻都是r，试求A、B两点之间的等效电阻RAB。16．设在桌面上的固定孤立接线柱数为：（1）4个；（2）5个；（3）n个。任意两个接线柱间均接入电阻值同为r的电阻。求接线柱1和2间的等效电阻为多大？R1R2R2R1RUrrrrrrABrrrrrrrrr—8—17．三只相同的金属圆圈，两两正交地连成如图所示的形状。若每一只金属圈原长的电阻为R，试求图中A、B两点间的等效电阻RAB。18．如图所示，12个阻值都是R的电阻，组成一立方体框架，试求AC间的电阻RAC、AB间的电阻RAB与AG间的电阻RAG。ABABCDEFGH—9—19．田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电阻均为R。试求网络中A、B两点间的等效电阻RAB。20．如图所示，一个原来用12根相同的电阻丝构成的立方体框架，每根电阻丝的电阻均为r，现将其中一根拆去，求A、B两点间的电阻RAB。ABabBAdcCD—10—21．如图所示是一个无限大导体网络，它由无数个大小相同的正三角形网眼构成，小三角形每边的电阻均为r，求把该网络中相邻的A、B两点接入电路中时，AB间的电阻RAB。22．由单位长度电阻为r的导线组成如图所示的正方形网络系列。n=1时，正方形网络边长为L，n=2时，小正方形网络的边长为L/3；n=3时，最小正方形网络的边长为L/9。当n=1、2、3时，各网络上A、B两点间的电阻分别为多少？ABLABAABBn=1n=2n=3—11—23．如图所示的无限旋转内接正三角形金属丝网络是由一种粗细一致、材料均匀的金属丝构成，其中每一个内接正三角形的顶点都在外侧正三角形三边中点上。已知最外侧三角形边长为l，单位长度金属丝的电阻为r0，求网络中AB间的电阻RAB。24．如图所示的平面电阻丝网络中，每一直线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r。试求A、B两点间的等效电阻。BAAB—12—25．半径为R的薄壁球形导体，球心在O点，球面上有三点A、B和C，三条球半径OA、OB和OC相互垂直。球面上A、B两点连有细导线，并由这两根细导线接至电源。已知通过电源的电流I0进入球面A点，再由球面B点流出，如图所示。求C点处的电流密度（在球面上垂直于电流方向单位长度线段上流过的电流）。26．如图所示，一长为L的圆台形均匀导体，两底面半径分别为a和b，电阻率为ρ。试求它的两个底面之间的电阻。27．一铜圆柱体半径为a、长为l，外面套一个与它共轴且等长的铜筒，筒的内半径为b，在柱与筒之间充满电阻率为ρ的均匀物质，如图所示，求柱与筒之间的电阻。LablabOBAI0I0C—13—28．将两相同截面积的碳棒和铁棒串联起来，复合棒的总电阻不随温度变化。问这两棒的长度之比为多少？已知0℃时碳的电阻率为3.5×10−5Ω·m，铁的电阻率为8.9×10−8Ω·m；碳的电阻温度系数为−5×10−4/℃，铁的电阻温度系数为5×10−3/℃。29．用万用表欧姆挡在室温（20℃）下测量一只“220V，15W”白炽灯的钨丝电阻约为300Ω（冷电阻），已知钨的电阻率温度系数为4.5×10−3/℃。试估算这只灯泡在点亮时灯丝的温度。30．电线被风吹断，一端触及地面，从而使200A的电流由接触点流入地内，如图所示。设地面水平，土地的电导率σ=10−2S/m（西门子/米）。一个人从远处走近输电线接地端，定义左、右两脚间（约0.6m）的电压为跨步电压。试求距离高压线触地点1m和10m处的跨步电压。I—14—31．在封口的毛细管内有两段水银柱，它们被一小滴HgI2电解质溶液隔开，如图所示。毛细管的内径d=0.3mm，管子与电阻R=390kΩ的电阻器串联，再接到电动势E=10V的电池上，试问经过多少时间液滴沿标尺移动一个刻度。32．如图所示，电源电动势E1=6V，E2=3V，内阻r1=2Ω，r2=1Ω，D为理想二极管，R为可变电阻。画出R两端电压随电流变化的函数曲线（伏安曲线），并求出R上消耗的最大功率。33．如图（a）所示，电阻R1=R2=1kΩ，电动势E=6V，两个相同的二极管D串联在电路中，二极管的ID−UD特性曲线如图（b）所示。试求：（1）通过二极管的电流。（2）电阻R1消耗的功率。R1cmEE1E2r2r1DABR（1）ER2DDR1UD/VID/mA0123123456（2）—15—34．如图所示，6个相同的伏特表相互连接，并与电压恒定的电源相连。有一个伏特表的电压示数为Ux=6V，其余伏特表的示数各是多少？35．在如图所示的网络中，仅知道部分支路上电流值及其方向，某些元件参数和支路交点的电势值已标在图上。请利用所给的有关数值及参数求出含有电阻Rx的支路上的电流值Ix及其方向。36．如图所示电路中，Ec=1.5V，Rb=150kΩ时，毫安表读数为0.8mA。则该晶体三极管的β值