吉林大学出版社高职高专《高等数学》第01章

《高等数学》（2017年版）1主编高职高专规划教材委员会出版社吉林大学出版社2课程目录第一章函数第二章极限与连续第三章导数与连续第四章中值定理与导数的应用第五章不定积分第六章定积分第七章定积分的应用第八章常微分方程第九章向量代数与空间解析几何第十章多元函数微分学第十一章二重积分第十二章无穷级数第一章函数第一节函数的基本概念第二节函数的性质第三节反函数与复合函数第四节初等函数3预备知识集合、区间和邻域一、函数的定义二、函数的表示法三、函数的定义域第一节函数的基本概念4预备知识集合、区间、邻域1）集合具有某种特定性质的事物的总体；集合中的每个事物称为集合的元素（元），,Aa元素a属于集合A:元素a不属于集合A:记作记作集合定义,Aa不是有限集的集合称为无限集一个集合若含有有限个元素，称为有限集5{1,2,3,4,5,6,7,8}A{P}Mxx具有性质集合的表示法：列举法描述法常见的数集N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集它们间关系:不含任何元素的集合称为空集.6,,.xAxBAB若则必则称是的子集.BA记作集合间的关系:.BA,AB则且若BA规定空集为任何集合的子集.7基本运算设A、B是两集合则交“AB”{xxA且xB}并“AB”{xxA或xB}差“A-B”{xxA且xB}其运算律：（1）AB=BAAB=BA（2）（AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)8（4）（3）（AB)C=(AC)(BC)（AB)C=(AC)(BC)AA=A,AA=A（5）A=A,A===ABABAABB若，，。9设实数ba，开区间),(ba＝}|{bxax，记作),(ba．数轴上表示点a与点b之间的线段，但不包括端点a及端点b．闭区间],[ba＝}|{bxax，记作],[ba．在数轴上表示点a与点b之间的线段，包括两个端点．.集合}|{bxax记作],(ba，称为左开右闭区间.集合}|{bxax记作),[ba，称为左闭右开区间.以上区间都称为有限区间，数ab称为这些区间的长度．2）区间---9种类型的区间10}|{),(axxa，}|{),[axxa}|{),(bxxb，}|{],(bxxb以上区间称为无限区间全体实数的集合R=}|{),(为任意实数xx,它也是无限区间.113)邻域（可选讲）邻域:.0,且是两个实数与设a0(,).Ua记作Ua,a记作（，）,称点为该邻域的中心为该邻域的半径xaaa,邻域的去心的点a{},xaxaa称数集为点的邻域0(,){0}Uaxxa12一、函数的定义常量与变量:研究过程中可以改变的量称为变量,注意通常用字母a,b,c等表示常量,研究过程中不可以改变的量称为常量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.13定义D为给定实数集，对于每个Dx，按照某种对应法则f，总存在唯一确定的实数值y与之对应，则称f为定义在D上的一个函数，也称y是x的函数，并记作)(xfy，Dx，其中x称为自变量，y称为因变量，实数集D称为这个函数f的定义域．14函数的定义对于每个Dx，按照某种对应法则f，总存在唯一确定的实数值y与之对应，这个实数值y称为函数f在x处的函数值，记作)(xf，即)(xfy．当x遍取实数集D的每个数值,对应的函数值的全体组成的数集W}),(|{Dxxfyy称为函数f的值域．注意：当两个函数的定义域和对应法则都相等时，两者才是同一个函数。15二、函数的概念函数的常用表示法有以下三种：（1）表格法将自变量的值与对应的函数值列成表格的方法.（2）图形法在坐标系中用图形来表示函数关系的方法.（3）公式法（解析法）将自变量和因变量之间的关系用数学表达式（又称为解析表达式）来表示的方法.二、函数的表示法16二、函数的概念｛例绝对值函数其定义域：D=(－∞,+∞),值域［0,+∞),它的图形如图所示．图1-11【例，分段函数】17二、函数的概念｛0,x=01,x＞0-1,x0例符号函数y=sgnx=其定义域D=(－∞,+∞),值域{－1,0,1}.对任一实数x,总有x=sgnx·x，它的图形如图所示．有些函数,对于自变量的不同取值范围，有不同的对应法则,这种函数称为分段函数.0,x=01,x＞0【例，分段函数】（教材P2）｛18xyo1119【例，分段函数】(教材P3)分段函数f(x)=−𝟏𝟐𝒙𝒙+𝟏,−𝟏𝒙𝟎,𝟎≤𝒙≤𝟏,𝒙𝟏20122122三、函数的定义域2324教材P5习题1-11、2、第二节函数的性质一、函数的奇偶性二、函数的单调性三、函数的有界性四、函数的周期性25偶函数有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxfyx)(xf)(xfyox-x)(xf;)(为偶函数称xf一、奇偶性26有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxf;)(为奇函数称xf奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy2728221(1)()(2)()2sin21(3)()1(4)()1fxxfxxfxxfxx例判断下列函数的奇偶性：教材P612121212(),,:()(),();(),,:()(),()设函数在区间D上有定义如果对于区间上任意两点恒有则称函数在区间上是单调增加的设函数在区间D上有定义如果对于区间D上任意两点恒有则称函数在区间D上是严格单调增加的。fxDxxfxfxfxDfxxxfxfxfx)(xfy)(1xf)(2xfxyoI二、单调性29)(xfy)(1xf)(2xfxyoI3012121212(),,:()(),();(),,:()(),()设函数在区间D上有定义如果对于区间上任意两点恒有则称函数在区间上是单调减少的设函数在区间D上有定义如果对于区间D上任意两点恒有则称函数在区间D上是严格单调减少加的。fxDxxfxfxfxDfxxxfxfxfx【例2】函数(参见教材P7)。2()=xfx三、有界性设函数)(xf的定义域为D，（1）若存在常数m，使得对任意Dx，恒有()mfx，则称函数)(xf在D上有下界且m就是)(xf的一个下界；（2）若存在常数M，使得对任意Dx，恒有Mxf)(，则称函数)(xf在D上有上界且M就是)(xf的一个上界；（3）如果存在一个正常数M，使得对于任意Dx，恒有()fxM，则称函数)(xf在D上有界．否则无界.显然，如果函数)(xf在D上有界，一定存在两个常数m和M，使得对任意Dx，有：()mfxM。反之亦然。【例3】例如函数f(x)=sinx.31四、周期性设函数)(xf的定义域为D，如果存在一个正数T，使得对于任何Dx，都有()()fxTfx且()xTD，则称函数)(xf为周期函数。其中T称为函数)(xf的周期．通常说的周期是指最小正周期．但并非每个周期函数都存在最小正周期．32判断一个函数是否是周期函数的步骤如下：（1）将函数分解成已知其周期的函数（比如三角函数等）的代数和，再求这些周期函数的周期的最小公倍数．（2）列出方程0)()(xfTxf，以T为未知量解此方程．若解出的T是与x无关的正数，则)(xf是周期函数；反之，或利用一些已知的运算法则推出矛盾的结果，就可断定函数是非周期函数．33【例4】f(x)=sinx和f(x)=cosx（1）正弦函数y=sinx，其定义域为(－∞,+∞)，值域为［－1,1］，它是奇函数及以2π为周期的周期函数（见图）.34（2）余弦函数y=cosx，其定义域为(－∞,+∞)，值域为［－1,1］，它是偶函数及以2π为周期的周期函数（见图）.3536教材P8习题1-21、2、3、4第三节反函数和复合函数一、反函数二、复合函数37在函数定义中，规定了对于每一个x，都有唯一的y与之对应，这样定义的函数又叫做单值函数，如果有两个或更多的数值y与之对应，就称y是x的多值函数。凡未作特别说明，本教材提到的“函数”都是指单值函数一、反函数38设函数)(xfy的定义域为D，值域为M，若对任意My，由函数关系式)(xfy恰好唯一确定出一个Dx与之对应，则认为x是y的函数，记作)(ygx，称上述的)(xfy与)(ygx互为反函数，习惯上将)(ygx记作)(1yfx.习惯上常用x表示自变量，y表示因变量，故常把)(xfy的反函数写作)(1xfy．39注：函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,),(,xeyx对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.)(xfyxy),(abQxyo指数函数4041(3)求函数y=（ex－e－x）/2的反函数.解:记u=ex，则y=（u－u－1）/2，由此得u2－2yu－1=0，解得u=y±y2+1,因u0，故u=y+y2+1，即ex=y+y2+1，所以x=ln(y+y2+1)，因此函数y=（ex－e－x）/2的反函数为y=ln(x+x2+1).【接上例】√√√√√43xysin44二、复合函数（教材P13）如果y是u的函数)(ufy，u又是x的函数()ugx，就称y是x的复合函数，记作[()]yfgx，其中u称为中间变量．函数的复合中要注意的是，函数()ugx的值域应该在函数)(ufy的定义域内，这样函数才能复合，否则复合就没有意义．45复合函数进一步的解释：1),(Duufy1)(DDg且则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件1)(DDg不可少.例如,函数链:,arcsinuy函数但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数.可有复合46两个以上函数也可构成复合函数.例如,0,uuy可构成复合函数:21uv),(,2xxv47第四节初等函数基本初等函数（教材P10表1-1）(5类)（1）幂函数()ayxaR，a为任意实数（2）指数函数(01)xyaaa，（3）对数函数log(01)ayxaa，（4）三角函数xysin,xycos,xytan,xycot,xysec,xycsc．（5）反三角函数xyarcsin，xyarccos，xyarctanxarcycot48幂函数1.幂函数y=xα（α∈R），其定义域由α的取值决定.当α=1,2，3，12,－1时是最常用的幂函数（见图）.幂函数()ayxa是常数oxy)1,1(112xyxyxy1xy50指数函数2.指数函数y=ax(a为常数,且a0,a≠1)，其定义域为(－∞,+∞).当a1时,指数函数y=ax单调增加；当0a1时，指数函数y=ax单调减少，如图所示.其中最为常用的是以e（e是无理数，它的值是2.718281828…）为底数的指数函数y=ex.指数函数)1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(xey52对数函数3.指数函数y=ax的反函数称为对数函数，记为y=logax（a为常数，且a0，a≠1），其定义域为(0,+∞).当a1时，对数函数y=logax单调增加；当0a1时，对数函数y=logax单调减少，如图所示.其中以e为底的对数函数称为自然对数函数，记为y=lnx.对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(544）三角函数正弦函数xysinxysin55xycosxycos余弦函数56正切函数xytanxytan57xycot余切函数xycot58（5）反三角函数三角函数的反函数称为反三角函数，由于三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx不是单调的，为了得到它们的反函数，需对这些函数限定在某个单调区间内来讨论.常用的反三