高中数学必修5常考题型：等差数列

等差数列【知识梳理】1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝a＋b2.3．等差数列的通项公式已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d递推公式通项公式an－an－1＝d(n≥2)an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)【常考题型】题型一、等差数列的判定与证明【例1】判断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{an}中an＝3n＋2；(2)在数列{an}中an＝n2＋n.[解](1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意性知，这个数列为等差数列．(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．【类题通法】定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差an＋1－an；(2)对差式进行变形；(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．【对点训练】1．已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}中，bn＝3an＋4，问：数列{bn}是否为等差数列？并说明理由．解：数列{bn}是等差数列．理由：∵数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，∴an＋1－an＝d(n∈N*)．∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d.∴根据等差数列的定义，数列{bn}是等差数列.题型二、等差数列的通项公式【例2】(1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求通项公式an.(2)已知数列{an}为等差数列a3＝54，a7＝－74，求a15的值．[解](1)∵a5＝10，a12＝31，则a1＋4d＝10，a1＋11d＝31，⇒a1＝－2，d＝3.∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5∴通项公式an＝3n－5.(n∈N*)(2)法一：由a3＝54，a7＝－74，得a1＋2d＝54，a1＋6d＝－74.解得a1＝114，d＝－34.∴a15＝a1＋(15－1)d＝114＋14×(－34)＝－314.法二：由a7＝a3＋(7－3)d，即－74＝54＋4d，解得d＝－34.∴a15＝a3＋(15－3)d＝54＋12×(－34)＝－314.【类题通法】1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得a1＋m－1d＝a，a1＋n－1d＝b，求出a1和d，从而确定通项公式．2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用am＝an＋(m－n)d则较为简捷．【对点训练】2．(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？解：(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5－4(n－1)＝－4n－1，由题意知，－401＝－4n－1.得n＝100，即－401是这个数列的第100项．题型三、等差中项【例3】已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．[解]在等差数列{an}中，∵a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6.a2＋a4＝12a2·a4＝11，解得a2＝11a4＝1或a2＝1，a4＝11.当a2＝11a4＝1时，a1＝16，d＝－5.an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21.当a2＝1a4＝11时，a1＝－4，d＝5.an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.【类题通法】三数a，b，c成等差数列的条件是b＝a＋c2(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．【对点训练】3．(1)已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为________，________，________.(2)已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝________.解析：(1)因为8，a,2，b，c是等差数列，所以8＋2＝2a，a＋b＝2×2，2＋c＝2b.∴a＝5，b＝－1，c＝－4.(2)由an－1＋an＋1＝2an(n≥2)知，数列{an}是等差数列，∴a2，a5，a8成等差数列．∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21.答案：(1)5－1－4(2)21【练习反馈】1．已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝3，则数列{an}的通项公式为()A．an＝3n－1B．an＝2n＋1C．an＝2n＋3D．an＝3n＋2解析：选A∵an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)·3＝3n－1.2．等差数列的前3项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为()A．an＝2n－5B.an＝2n－3C．an＝2n－1D．an＝2n＋1解析：选B∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前3项，∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.3．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．解析：设首项为a1，公差为d，由a3＝7，a11＝－1得，a1＋2d＝7，a1＋10d＝－1，所以a1＝9，d＝－1，则a7＝3.答案：34．已知：1，x，y,10构成等差数列，则x，y的值分别为________．解析：由已知，x是1和y的等差中项，即2x＝1＋y①，y是x和10的等差中项，即2y＝x＋10②，由①，②可解得x＝4，y＝7.答案：4,75．在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.解：(1)由题意，知a1＋5－1d＝－1，a1＋8－1d＝2.解得a1＝－5，d＝1.(2)由题意，知a1＋a1＋6－1d＝12，a1＋4－1d＝7.解得a1＝1，d＝2.∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.∴a9＝2×9－1＝17.