2012年全国各地中考数学压轴题专集答案平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形

2012年全国各地中考数学压轴题专集答案七、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形1．（天津）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t根据勾股定理，OP2＝OB2＋BP2即(2t)2＝62＋t2，解得t＝23（t＝－23舍去）．∴点P的坐标为（23，6）（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC∵∠OPB′＋∠OPB＋∠QPC′＋∠QPC＝180°，∴∠OPB＋∠QPC＝90°∵∠BOP＋∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ又∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴OBPC＝BPCQ由题设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11－t，CQ＝6－m∴611－t＝t6－m，∴m＝16t2－116t＋6（0＜t＜11）（Ⅲ）点P的坐标为（11－133，6）或（11＋133，6）提示：过点P作PH⊥OA于H易证△PC′H∽△C′QA，∴PHAC′＝PC′C′Q∵PC′＝PC＝11－t，PH＝OB＝6，AQ＝m，C′Q＝CQ＝6－m∴AC′＝C′Q2－AQ2＝36－12m∴636－12m＝11－t6－mABxOyCPB′图②C′QABxOyCPB′图①ABxOyCPB′C′QABxOyCPQBHC∵611－t＝t6－m，即6t＝11－t6－m∴636－12m＝6t，∴36－12m＝t2，即12m＝36－t2又m＝16t2－116t＋6，即12m＝2t2－22t＋72∴2t2－22t＋72＝36－t2，即3t2－22t＋36＝0解得：t＝11±133∴点P的坐标为（11－133，6）或（11＋133，6）2．（天津模拟）如图，在梯形ABCO中，A（0，2），B（4，2），点C为x轴正半轴上一动点，M为线段BC中点．（1）设C（x，0），S△AOM＝y，求y与x的函数关系式；（2）如果以线段AO为直径的⊙D和以BC为直径的⊙M外切，求点C的坐标；（2）连接OB交线段AM于N，如果以A、N、B为顶点的三角形与△OMC相似，求直线CN的解析式．解：（1）取OA中点D，连接DM则DM＝12(AB＋OC)＝12(4＋x)＝12x＋2∴y＝12OA·DM＝12×2×(12x＋2)＝12x＋2即y＝12x＋2（2）设⊙M的半径为r，⊙M与AB交于点E，连接CE则∠BEC＝90°，OC＝AE＝x，BE＝4－x，CE＝2在Rt△BCE中，(4－x)2＋22＝(2r)2①又DM＝1＋r＝x＋42②由①、②解得x＝43∴点C的坐标为（43，0）（3）延长AM交x轴于点F则△CMF≌△BMA，∴CF＝AB＝4，OF＝x＋4∵AB∥OF，△ANB∽△FNO，∴ANNF＝ABOF＝4x＋4∴AN＝4x＋8AF＝4x＋822＋(x＋4)2＝4x＋8x2＋8x＋20CABOMxDyCABOMxDyEN∵DM⊥OA，AD＝OD，∴AM＝OM∴∠DAM＝∠DOM，∴∠BAN＝∠MOC①若ABAN＝OMOC，则△ABN∽△OMC于是44x＋8x2＋8x＋20＝(x＋42)2＋12x整理得：x2＋8x－20＝0，解得：x1＝－10（舍去），x2＝2∴C（2，0），F（6，0）可得直线AF的解析式为y＝－13x＋2，直线OB的解析式为y＝12x由y＝－13x＋2y＝12x解得x＝125y＝65∴N（125，65）设直线CN的解析式为y＝kx＋b，则：125k＋b＝652k＋b＝0解得k＝3b＝－6∴直线CN的解析式为y＝3x－6②若ABAN＝OCOM，则△ABN∽△OCM于是44x＋8x2＋8x＋20＝x(x＋42)2＋12整理得：x＋8＝2x，解得：x＝8∴C（8，0），F（12，0）可得直线AF的解析式为y＝－16x＋2，直线OB的解析式为y＝12x由y＝－16x＋2y＝12x解得x＝3y＝32∴N（3，32）设直线CN的解析式为y＝k′x＋b′，则：3k′＋b′＝328k′＋b′＝0解得k′＝－310b′＝125∴直线CN的解析式为y＝－310x＋1253．（上海模拟）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E是AB边上一点（与A、B不重合），EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH＝∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N．（1）如图1，当点H与点F重合时，求BE的长；（2）如图2，当点H在线段FD上时，设BE＝x，DN＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；CABOMxDyNFCABOMxDyNF（3）连接AC，当△FHE与△AEC相似时，求线段DN的长．解：（1）∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠BEC＝90°∵∠AEH＝∠BEC，∴∠BEC＝45°∵∠B＝90°，∴BE＝BC∵BC＝3，∴BE＝3（2）过点E作EG⊥CN，垂足为点G∴BE＝CG∵AB∥CN，∴∠AEH＝∠N，∠BEC＝∠ECN∵∠AEH＝∠BEC，∴∠N＝∠ECN，∴EN＝EC∴CN＝2CG＝2BE∵BE＝x，DN＝y，CD＝AB＝4∴y＝2x－4（2≤x≤3）（3）∵∠A＝90°，∴∠AFE＋∠AEF＝90°∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠BEC＝90°∴∠AFE＝∠BEC，∴∠HFE＝∠AEC当△FHE与△AEC相似时①若∠FHE＝∠EAC∵∠BAD＝∠B，∠AEH＝∠BEC∴∠FHE＝∠ECB，∴∠EAC＝∠ECB∴tan∠EAC＝tan∠ECB，∴BCAB＝BEBC∴34＝BE3，∴BE＝94，∴DN＝12②若∠FHE＝∠ECA，作EG⊥CN于G，交AC于O∵EN＝EC，EG⊥CN，∴∠1＝∠2∵AH∥EG，∴∠FHE＝∠1，∴∠FHE＝∠2∴∠2＝∠ECA，∴OE＝OC设OE＝OC＝3k，则AE＝4k，AO＝5k∴AO＋OC＝8k＝5，∴k＝58∴AE＝52，BE＝32，∴CN＝3，∴DN＝1综上所述：线段DN的长为12或14．（上海模拟）已知在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝2DE，CE＝2BE，∠ADE＝∠ECD，DE＝CE＝4．（1）如图1，求证：DE∥CB；AEBNDC图1F(H)ABENDCFH图2AEBFC备用图DABHNCDFE12ABHCDFENGOABENDCFHG（2）如图2，点F是线段EB上一动点（不与E重合），连接CF并延长交DE的延长线于点G，设EF＝x，DG＝y，求y与x的函数关系式；（3）点P是线段AE上一动点（不与E重合），连接CP交DE于点Q，当△PQE是等腰三角形时，求AP的长．（1）证明：∵AB∥DC，∴∠CEB＝∠ECD∵∠ADE＝∠ECD，∴∠ADE＝∠CEB∵AD＝2DE，CE＝2BE，∴ADDE＝CEBE∴△ADE∽△CEB，∴∠AED＝∠B∴DE∥CB（2）解：∵AB∥DC，DE∥CB∴四边形DEBC是平行四边形，∴DE＝BC∵DE＝CE＝4，∴BC＝4∵CE＝2BE，∴BE＝2∵DG∥CB，∴EGBC＝EFBF即y－44＝x2－x∴y＝82－x（0＜x＜2）（3）解：①当PE＝QE时∵PE∥DC，∴DCEP＝DQEQ∴DC＝DQ∵四边形DEBC是平行四边形，∴DC＝BE＝2∴DQ＝2∵△ADE∽△CEB，DE＝CE＝CB＝4，BE＝2∴AE＝AD＝8∴PE＝QE＝DE－DQ＝4－2＝2∴AP＝8－2＝6CADEB图2FGCADEB图1CADEB备用图CADEBQP②当PE＝PQ时则∠PQE＝∠PEQ∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠PEQ∴∠PQE＝∠ADE，∴AD∥PC∴四边形APCD是平行四边形∴AP＝DC＝2③当PQ＝EQ时则∠QPE＝∠QEP＝∠CBE＝∠CEB此时点P与点E重合，△PQE不存在综上所述，当△PQE是等腰三角形时，AP的长为6或25．（上海模拟）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，AB＝3，DC＝6，BC＝5．点E是边DC上任意一点，点F在边AB的延长线上，且AE＝AF，连接EF，与边BC相交于点G．（1）设BF＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（2）当四边形BECF是平行四边形时，求BF的长；（3）当点E在边DC上移动时，△BFG能否成为等腰三角形？如果能，求BF的长；如果不能，请说明理由．解：（1）∵AB∥DC，∠D＝90°，AB＝3，DC＝6，BC＝5∴AD＝4在Rt△ADE中，AD2＋DE2＝AE2∵BF＝x，∴AF＝AB＋BF＝3＋x∵AE＝AF＝3＋x，DE＝y，∴42＋y2＝(3＋x)2∴y＝x2＋6x－7当E与D重合时，y＝0，则x＝AD－AB＝1当E与C重合时，AC＝AD2＋DC2＝213，x＝213－3∴1≤x≤213－3（2）∵BF∥EC，∴若四边形BECF是平行四边形，只需BF＝EC∴x＝6－x2＋6x－7，解得x＝4318即BF的长为4318（3）①若BF＝BG，则∠BGF＝∠BFG＝∠AEF∴BG∥AE，∴BFAB＝FGEG∵AB∥CD，∴BFEC＝FGEGABDC备用图ABDCEFGCADEBQP∴BFAB＝BFEC，∴EC＝AB＝3，DE＝DC－EC＝3∵AD＝4，∴AE＝AF＝5，∴BF＝AF－AB＝2②若BG＝FG，过G作AD的平行线，分别交BF、EC于点M、N则MN⊥AB，四边形ADNM是矩形∴AM＝DN，BM＝12BF＝12x∵BG＝FG，AB∥DC，∴EG＝CG∴EN＝12EC＝12(DC－DE)＝12(6－y)＝3－12y∴3＋12x＝y＋3－12y，∴x＝y∴x＝x2＋6x－7，解得x＝76，即BF＝76③若BF＝FG，过F作FH⊥BG于H，过E作EK⊥GC于K则BG＝2BH＝2BF·cos∠FBG＝2BF·cos∠C＝2x·35＝65x∴GC＝5－65x∵BF＝FG，∴∠FBG＝∠FGB＝∠EGC∵AB∥DC，∴∠FBG＝∠C∴∠EGC＝∠C，∴EC＝EG∴KC＝12GC＝52－35x∵cos∠C＝KCEC＝35，∴KC＝35EC∴52－35x＝35(6－x2＋6x－7)，解得x＝37384当x＝37384时，52－35x＝52－35×37384＝－23140＜0∴x＝37384不合题意，应舍去综上所述，△BFG能成为等腰三角形，BF的长为2或766．（上海模拟）有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝5，把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN（MN交AB于M，交AD于N）．（1）如图1，当BE＝2时，求AM的长；（2）当点E在BC上运动时，设BE＝x，AN＝y，求y关于x的函数关系式，并确定函数的定义域；（4）连接DE，是否存在这样的点E，使△AME与△DNE相似？若存在，求出此时BE的长，若不存在，请说明理由．ABDCEFGHKABDCEFGMNABDC备用图ABDCNEM图1ABDC备用图解：（1）设BM＝a，∵AB＝2，∴ME＝AM＝2－a在Rt△BME中，BM2＋BE2＝ME2∴a2＋2＝(2－a)2，∴a＝12∴AM＝32（2）设BM＝a，∵BE＝x，∴a2＋x2＝(2－a)2∴a＝4－x24，∴AM＝2－4－x24＝4＋x24延长NM交CB延长线于点F∵∠F＝∠ANM＝∠ENM，∴EF＝EN＝AN＝y∴BF＝y－x∵△BFM∽△ANM，∴BFAN＝BMAM∴y－xy＝4－x244＋x24，∴y＝4＋x22x由0＜x≤20＜4＋x22x≤5解得5－21≤x≤2