特征方程法求递推数列的通项公式

高考数学专题讲座授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学吴学伟13577103702第1页共11页特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{na的项满足dcaabann11,,其中,1,0cc求这个数列的通项公式。采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,dcxx称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x，则当10ax时，na为常数列，即0101,;xbaaxaannn时当，其中}{nb是以c为公比的等比数列，即01111,xabcbbnn.证明：因为,1,0c由特征方程得.10cdx作换元,0xabnn则.)(110011nnnnnncbxacccdcacddcaxab当10ax时，01b，数列}{nb是以c为公比的等比数列，故;11nncbb当10ax时，01b，}{nb为0数列，故.N,1naan（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列}{na满足：,4,N,23111anaann求.na解：作方程.23,2310xxx则当41a时，.21123,1101abxa数列}{nb是以31为公比的等比数列.于是.N,)31(2112323,)31(211)31(1111nbabbnnnnnn例2．已知数列}{na满足递推关系：,N,)32(1niaann其中i为虚数高考数学专题讲座授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学吴学伟13577103702第2页共11页单位。当1a取何值时，数列}{na是常数数列？解：作方程,)32(ixx则.5360ix要使na为常数，即则必须.53601ixa二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式nnnqapaa12，21,aa给出的数列na，方程02qpxx，叫做数列na的特征方程。若21,xx是特征方程的两个根，当21xx时，数列na的通项为1211nnnBxAxa，其中A，B由21,aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入1211nnnBxAxa，得到关于A、B的方程组）；当21xx时，数列na的通项为11)(nnxBAa，其中A，B由21,aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入11)(nnxBnAa，得到关于A、B的方程组）。例3：已知数列na满足),0(0253,,1221Nnnaaabaaannn，求数列na的通项公式。解法一（待定系数——迭加法）由025312nnnaaa，得)(32112nnnnaaaa，且abaa12。则数列nnaa1是以ab为首项，32为公比的等比数列，于是高考数学专题讲座授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学吴学伟13577103702第3页共11页11)32)((nnnabaa。把nn,,3,2,1代入，得abaa12，)32()(23abaa，234)32()(abaa，21)32)((nnnabaa。把以上各式相加，得])32()32(321)[(21nnabaa)(321)32(11abn。abbaaabannn23)32)((3)]()32(33[11。解法二（特征根法）：数列na：),0(025312Nnnaaannn，baaa21,的特征方程是：02532xx。32,121xx,1211nnnBxAxa1)32(nBA。又由baaa21,，于是)(32332baBabABAbBAa故1)32)((323nnbaaba三、(分式递推式)定理3：如果数列}{na满足下列条件：已知1a的值且对于高考数学专题讲座授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学吴学伟13577103702第4页共11页Nn，都有hraqpaannn1（其中p、q、r、h均为常数，且rharqrph1,0,），那么，可作特征方程hrxqpxx.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若,1a则;N,nan若1a，则,N,1nbann其中.N,)1(11nrprnabn特别地，当存在,N0n使00nb时，无穷数列}{na不存在.（2）当特征方程有两个相异的根1、2（称作特征根）时，则112nnncca，,Nn其中).(,N,)(211212111anrprpaacnn其中例3、已知数列}{na满足性质：对于,324,N1nnnaaan且,31a求}{na的通项公式.解:依定理作特征方程,324xxx变形得,04222xx其根为.2,121故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有.N,)221211(2313)(11212111nrprpaacnnn高考数学专题讲座授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学吴学伟13577103702第5页共11页∴.N,)51(521ncnn∴.N,1)51(521)51(52211112nccannnnn即.N,)5(24)5(nannn例5．已知数列}{na满足：对于,Nn都有.325131nnnaaa（1）若,51a求;na（2）若,31a求;na（3）若,61a求;na（4）当1a取哪些值时，无穷数列}{na不存在？解：作特征方程.32513xxx变形得,025102xx特征方程有两个相同的特征根.5依定理2的第（1）部分解答.(1)∵.,511aa对于,Nn都有;5na(2)∵.,311aa∴rprnabn)1(1151131)1(531n,8121n令0nb，得5n.故数列}{na从第5项开始都不存在，高考数学专题讲座授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学吴学伟13577103702第6页共11页当n≤4，Nn时，51751nnbann.(3)∵,5,61a∴.1a∴.,811)1(11Nnnrprnabn令,0nb则.7nn∴对于.0bN,nn∴.N,7435581111nnnnbann(4)、显然当31a时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，51a时，数列}{na是存在的，当51a时，则有.N,8151)1(111nnarprnabn令,0nb则得N,11351nnna且n≥2.∴当11351nna（其中Nn且N≥2）时，数列}{na从第n项开始便不存在.于是知：当1a在集合3{或,:1135Nnnn且n≥2}上取值时，无穷数列}{na都不存在.练习题：求下列数列的通项公式：1、在数列}{na中，,7,121aa)3(3221naaannn，求na。（key：21)1(32nnna）2、在数列}{na中，,5,121aa且2145nnnaaa，求na。（key：高考数学专题讲座授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学吴学伟13577103702第7页共11页)14(31nna）3、在数列}{na中，,7,321aa)3(2321naaannn，求na。（key：121nna）4、在数列}{na中，,2,321aannnaaa313212，求na。（key：2)31(4147nna）5、在数列}{na中，,35,321aa)4(3112nnnaaa，求na。（key：1321nna）6、在数列}{na中，,,21baaannnqapaa12，且1qp.求na.（key：1q时，))(1(abnaan；1q时，qqabbaqann1))((1）7、在数列}{na中，,,21baaaa0)(12nnnqaaqppa（qp,是非0常数）.求na.（key：bpqqppaann)](1[1(qp)；bnaan)1(1）(qp)8、在数列}{na中，21,aa给定，21nnncabaa.求na.(key:122211)(acaannnnn)(；若，上式不能应用，此时，.)2()1(1122nnnanana高考数学专题讲座授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学吴学伟13577103702第8页共11页附定理3的证明定理3(分式递推问题)：如果数列}{na满足下列条件：已知1a的值且对于Nn，都有hraqpaannn1（其中p、q、r、h均为常数，且rharqrph1,0,），那么，可作特征方程hrxqpxx.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若,1a则;N,nan若1a，则,N,1nbann其中.N,)1(11nrprnabn特别地，当存在,N0n使00nb时，无穷数列}{na不存在.（2）当特征方程有两个相异的根1、2（称作特征根）时，则112nnncca，,Nn其中).(,N,)(211212111anrprpaacnn其中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换N,nadnn则hraqpaadnnnn11hrahqrpann)(hdrhqrpdnn)())((高考数学专题讲座授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学吴学伟13577103702第9页共11页rhrdqphrrpdnn])([)(2①∵是特征方程的根，∴.0)(2qphrhrqp将该式代入①式得.N,)(1nrhrdrpddnnn②将rpx代入特征方程可整理得,qrph这与已知条件qrph矛盾.故特征方程的根,rp于是.0rp③当01d，即11da=时，由②式得,N,0nbn故.N,ndann当01d即1a时，由②、③两式可得.N,0ndn此时可对②式作如下变化：.1)(11rprdrprhrpdrhrddnnnn④由是方程hrxqpxx的两个相同的根可以求得.2rhp∴,122hpphrrhpprrhphrprh将此式代入④式得.N,111nrprddnn令.N,1ndbnn则.N,1nrprbbnn故数列}{nb是以rpr为公差的等差数列.高考数学专题讲座授人以鱼，不如授人以渔。让数学不再成为障碍！嵩明县第一中学吴学伟