卡尔曼滤波与LQG控制

同济大学汽车学院目录1.引言钟再敏现代控制理论基础6离散时间状态观测器与LQG控制DiscreteTimeObserversandLQGControl同济大学汽车学院CollegeofAutomotive,TongjiUniversity同济大学汽车学院连续系统的离散化给定LTI系统LTI系统的输入u为离散控制量，采样周期为T，采样期间ZOH零阶保持，则采样保持期间的系统相应可以计算得到：其中：进而：同济大学汽车学院连续系统的离散化框图表示为：Z变换表示为：引入状态反馈控制：可以得到：同济大学汽车学院3.6连续系统的时间离散化,(1)xtAtxtBtut3.6.1近似离散化考虑系统1.(2)xtxkxkTT当采样周期很小时，有同济大学汽车学院tkT令,(1)(2):1,xkTxkTTAkTxkTBkTukT1,xkTITAkTxkTTBkTukT.GkTxkTHkTukT其中：,.GkTITAkTHkTTBkT同济大学汽车学院3.6.2线性时不变系统状态方程的离散化考虑系统：,xtAxtBut000tAttAttxtexteBud其状态方程的解为：假设：(1)等采样周期T：(2),1.utukTkTtkT同济大学汽车学院则有：()()()()()111kTAkTATkTxkTexkTeBudttt+轾+-臌轾+=+臌ò11kTAkTATkTexkTeBdukT()()()()01AtATxkTexkTeBdtukTt轾+=+?臌ò()()()0AtATexkTedtBukTt=+?ò01,,tkTtkT令,ddt则1,tkT令同济大学汽车学院1.xkTGxkTHukT则线性时不变系统离散状态方程为：0,,TATAtGeHedB令同济大学汽车学院连续系统离散化的几点说明：(1)近似离散化是一般离散化的特例(2)定常系统离散化是时变系统离散化的特例(3)一般说来，没有精确离散化(4)离散化是有条件的，“连续化”是无条件的(5)连续系统的结论可以在离散系统中找到对应，反之则未必同济大学汽车学院解：(1)近似离散化:GITA则100110.20.2,01230.40.4000.210.20.2.Ts离散化，例3.6.1把状态方程1122010231xxuxx同济大学汽车学院1,xkTGxkTHukT所以近似离散化状态方程为:10.200.210.20.20.40.41xkxkuk即同济大学汽车学院时间k过去←---现在时刻---→将来已知求现在时刻的值——滤波？求过去时间段某一点的值——数据平滑、插值、拟合？求将来时间段某一点的值——估计、预测？拟合、滤波与估计同济大学汽车学院离散化状态观测器预测：滤波：同济大学汽车学院离散化状态观测器与闭环控制带有离散状态观测器的闭环反馈控制系统：同济大学汽车学院Kalman滤波器-最优估计如何设计状态观测器的增益系数，考虑噪声环境下测量噪声v(k)和过程噪声w(k)为零均值高斯噪声,即Kalman滤波的原理是选择观测器增益Ke,使得如下方差最小:测量噪声方差Rv一般由传感器指标决定过程噪声方差Rw主要考虑未知扰动和模型误差同济大学汽车学院Kalman滤波器-最优估计的瞬态解瞬态增益系数的解如下测量更新时间更新同济大学汽车学院Kalman滤波器-最优估计的两步更新过程由测量得到新息做最优估计测量更新,由新息和历史数据进行估计时间更新,为下一步最优估计作准备同济大学汽车学院P(k)--误差估计阵Kk—卡尔曼增益阵P(k|k-1)--一步测量误差阵卡尔曼增益Kk的求法•卡尔曼滤波的特点：–适用于平稳/非平稳时间序列的滤波；–递推形式，便于实时；–Kk与观测无关，可离线计算出来；–由于存在两个延迟环节，因此需要给出P0和X(0)（实验表明，可任取）；–Kk在滤波收敛之后，不再发生改变。同济大学汽车学院•滤波方程中各参数的含义：–P(k)-----滤波误差方差阵–P(k|k-1)-----一步预测误差方差阵–Kk------卡尔曼滤波增益若设H=1，则基本滤波方程变成：JXXXXEXXEkPTkkkkTkk])ˆ)(ˆ[(]~~[)(]))1|(ˆ))(1|(ˆ[(]~~[)1|(1,1,TkkTkkkkkkXXkkXXEXXEkkPˆˆ()()(|1)()kkXkIKXkkKZk卡尔曼滤波方程中各参数的含义同济大学汽车学院Kalman滤波器-稳态解与LQGKalman滤波器稳态解估计的Hamilton矩阵为:为Hamilton矩阵的特征根MATLAB命令为:同济大学汽车学院Kalman滤波器-LQG应用实例LQG=LinearQuadraticGaussianRegulator采样周期:状态变量:two_mass_sys.m