巧用图像法解运动学类题

1学生进入高中阶段一开始物理的学习，先接触到的是运动学部分，而这一部分对于提升学生对物理的兴趣，深化、活化物理思维有着最直接的影响。运动学类题解法多样，如果能较好地掌握图像法不只可以体会到“柳暗花明又一村”激动，也可以感受到学物理也可以如此地简单、直观、“有形”！下面结合例题就巧用图像法与大家一起分享、探讨。一、速度图像速度—时间（vt）图像描述物体运动的速度随时间的变化规律。其横坐标表示速度、纵坐标表示时间，其斜率表示速度变化的快慢程度即加速度，而图线与坐标轴所围成的面积表示位移。1．一物体做匀加速直线运动，一次通过A、B、C三个位置，B为A、C的中点，物体在AB段的加速度恒为1a，在B、C段的加速度恒为2a，现测得()/2BACvvv则1a、2a的大小为（）A．1a＞2aB．1a=2aC．1a＜2aD．无法确定解析：此题若用计算法：由2202tvvas，得到22112BAvvas，22222CBvvas，因B为AC的中点，所以12ss，为了比较1a、2a的大小将其求差：22212122BACvvvaas，再将()/2BACvvv代入整理得到：2121()4ACvvaas＜0，故选C若用图像法如下：由题意做出vt图像，因B为AC的中点，所以12ss，由图可知ABt＞BCt，()/2BACvvv得到CBBAvvvvv，而1/ABavt，2/BCavt，所以1a＜2a。2．某人用手表估测火车的加速度，现观察3min，发现火车前进540m，隔3min后又观察1min，发现火车前进360m，若火车在这7min内做匀加速直线运动，则火车的加速度为（）A．0.032/msB．0.012/msC．0.52/msD．0.62/ms此题给的条件较为模糊，想用套公式法直接计算又无从下手，那么，不妨画速度图像试试，设开始观察时火车速度为0v，以任意斜率画出火车匀加速的速度图像。这时观察两段时间内的位移（阴影面积），即可想到两段时间内的平均速度，又由某段时间内的平均速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度，可知：15403/360mvmss23606/160mvmss由图亦可知1v、2v所对应的两时刻之间的时间间隔(6.51.5)60300tss，所以，加速度2210.01/vvamst3．我们可以将百米赛跑的过程近似地看成与两段运动组成：先是匀加速直线运动，后是匀速直线运动。如果某同学在校运会上百米赛跑的成绩为12.00s，他在匀速运动时的速度为10.0m/s。试计算出他的加速度。tv0vAvBvCCCs1s2巧用图像法解运动学类题郑卫锋（广东惠东高级中学516321）v1v2v00376t/minv/m•s-1v/(m/s)10.00t/s12.00S2＝100mS12解析：此题若不画图很难着手，依题意画出速度图像后，解题思路才会恍然呈现。图中阴影面积为运动员的位移2100sm，图中空白部分面积1(10.012.0100)sm，又由速度位移公式2202tvvas可知2110.02as，所以22.5/ams。4．物体做直线运动，在t时间内通过的路程为s，它在中间位置s/2处的速度为1v，在中间时刻t/2时刻的速度为2v，则1v和2v的关系为（）A．当物体做匀加速直线运动时，1v＞2vB．当物体做匀减速直线运动时，1v＞2vC．当物体做匀速直线运动时，1v＝2vD．当物体做匀减速直线运动时，1v＜2v解析：若是匀速直线运动，则1v＝2v，C正确。若是匀变速直线运动为了比较中点位置和中间时刻的速度，则需想到0/22ttvvv、220/22tsvvv，再由200()22ttvvvv＜2202tvv，得到1v＞2v，故A、B正确。若用图像法则更为直观快捷！从图中可直接看出1v＞2v。5．甲、乙、丙三辆车沿直线行驶经过某一路标时速度相等，甲车先匀加速再匀减速，乙车匀速，丙车先匀减速再匀加速，结果它们到达下一个路标的速度又一次相同，试分析它们通过下一个路标的先后次序．解析：此题一只条件模糊难以用公式进行计算，若能依题意画出速度图像，则结论一看便知。甲乙丙三车的速度时间图像如图所示，要三者位移相等，必有t甲＜t乙＜t丙，所以到达下一路标的次序为先甲再乙后丙。6．如图所示，两个质量完全一样的小球，从光滑的a管和b管由静止滑下，设转弯处无能量损失，比较两球所用时间的长短。（B、D两点在同一水平面上）解析：沿a管下滑的小球，在AB段的加速度比BC段的小，则在vt图像中所表示的a小球的斜率先小后大；同理，沿b管下滑的小球在vt图像中的斜率先大后小。由机械能守恒定律可知两球滑到底端时的速度相同，又由管道形状知两球经过的总路程相等，即在速度图像上的面积相等，则必有at＞bt。二、位移图像位移—时间图像（st）描述运动物体的位移随时间的变化规律，其纵坐标表示位移（直接看出），横坐标表示时间，其斜率表示速度。7．如图是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图，测速仪发出并接受超声波脉冲信号，根据发出和接收到的信号间的时间差，便可测出被测车辆的速度。图中P1、P2是测速仪发出的超声波信号，n1、n2分别是P1、P2由汽车反射回来的信号。已知P1、P2之间的时间间隔1.0ts，超声波在空气中传播速度是0340/vms。若汽车是匀速行驶的，则根据图可知，汽车在接收到两个信号之间的时间间隔内前进的距离是多少？汽车的速度是多少？解析：设超声波在第一次和第二次到达汽车时，汽车距测速仪的距离分别为1s、2s，两次距离之差即(a)01234P1P2n1n2(b)ABDCa管b管vtb0av0atbt3为汽车在接收到两个信号之间的时间间隔内前进的距离，画出st图像可直观地看出（图线的斜率表示超声波的波速，用两个小矩形块表示汽车）。由P1、P2间的时间间隔1.0ts在b图标尺上对应30个小格，说明每小格相当于时间130s。1P、1n之间相差12个格子，说明第1个超声波信号从发出到返回历时11120.4030tss，则101/2svt；同理，2P、2n之间相差9个格子，即第2个信号从发出到返回历时2190.3030tss，则202/2svt；所以，汽车在接收到两个信号之间的时间间隔内前进的距离1217sssm。此距离s除以汽车两次接收到信号的时间间隔t就是汽车的速度。汽车第1次接收到信号的时刻应是1P、1n之间的中间时刻；第2次接收到信号的时刻是2P、2n之间的中间时刻。对应标尺上的小格线有：1(39.511.0)0.9530tss。因此，汽车的速度17.9/svmst。8．某公司每天专派一辆汽车准时接一位工程师上班。有一天，工程师比平时提前1h出门步行上班，在途中遇到来接他的汽车，就再乘车到工厂，结果比平时提前10min到达公司，求：⑴该工程师在与汽车相遇前已经步行了多长时间？⑵汽车的速率是工程师步行速率的几倍？（假设工程师的家与公司位于同一长直公路上）分析：这是一道运动学中的相遇问题，若用公式法方程较多且它们之间的关系不易确定，改用st图像可直接看出相关关系。解析：根据题意画出st图像如下，其中折线EDF是平时接送时汽车的位移图像，其斜率表示汽车的速率，折线AHG表示工程师提早步行上班的位移图像。因为汽车速率一定，所以HG∥DF。图中AD=1h，BD=GF=10min，而HC平分BD，可知在与汽车相遇前工程师已经步行了55min，根据AH与BH的斜率可得：汽车速率是工程师步行速率的11倍。三、轨迹图像轨迹图就是反映物体实际运动的轨迹。画轨迹图也就是平时常说的对运动过程“画草图”，此方法在解决追击、相遇类，抛体运动类、自由落体类题目时都较为常用。9．一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点A的时间间隔为At，两次经过一个较高点B的时间间隔为Bt，则A、B之间的距离为多少？解析：此题必须画出草图才能找到关系由竖直上抛运动的对称性可知，从A点到最高点ABCDGFts0EHΔS0t1t2Δtt/ss/ms1s2AB4的时间为A/2t，从B点到最高点的时间为B/2t，故A点到最高间的距离：21()22AAthgB点到最高间的距离：21()22BBthg所以A、B两点距离221()8ABABhhhgtt。10．甲球在乙球的正上方h高度处，现将甲乙两球分别以大小为1v和2v的初速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，下列条件中有可能使两球相撞的是（）A．同时抛出，且1v＜2vB．甲迟抛出，且1v＜2vC．甲早抛出，且1v＞2vD．甲早抛出，且1v＜2v解析：画出两球做平抛的轨迹图（抛物线），假设两球相撞于P处。观察可知两球从抛出到相撞的下落高度h甲＞h乙,又由平抛运动高度决定（2/thg）知t甲＞t乙，要同时相遇则必须甲早抛出。由图又可知从抛出到相撞两球水平位移相等，又根据平抛运动水平位移0xvt，可知1v＜2v。11．如图所示，两小球a、b从直角三角形斜面的顶端以相同大小的水平速率0v向左、向右水平抛出，分别落在两个斜面上，三角形的两底角分别为30和60，则两小球a、b的运动时间之比为()A、1：3B、1：3c、3：1D、3：1解析：为了找到解题的突破口，我们先画出在任一斜面上将小球平抛后的轨迹，小球撞斜面时的速度方向不可知，但运动结束后两个分位移的关系很明朗：20/2tanygtxvt，整理得02tanvtg即tant（小球的运动时间与其所在斜面倾角的正切成正比）所以，:tan30:tan601:3abtt。四、矢量图法运动物体的速度、位移、加速度均为矢量，是矢量就可以用矢量的加减法则，比如常见的平行四边形定则，或三角形法则。12．一只小船在静水中的速度为u，若水速为v，且u＜v要使之以最短航线渡过宽度为L的河，试分析应如何行驶？最短航线由多长？解析：若要航线最短，则小船合速度应尽可能向垂直于岸的方向靠拢（即角应尽量小），由图可知：当v合和u垂直时，小船航线最短，此时cos/uv即船身应以偏向上游arccos(/)uv行驶，最短航线长度为min/cos/cos/sLLvLu。13．如图所示A船从港口P出发去拦截正以速度0v沿直线匀速航行的B船，P点与B所在的航线的垂直距离为a，A船启航时与B船的距离为b（b＞a），忽略A船启动时间，认为它一启航就匀速运动，求A船能拦截到B船所需的最小速率。解析：这是两物体追赶的运动学求极值的问题。一条思路是以河岸为参考系由正弦定理来求；另一条思路是巧选B船参考系，画矢量图利用相对运动的矢甲乙Pxyv0vuuLv合(A)abPv0B5量三角形来求。解析：选取B船为参考系，只要A船相对B船的速度v的方向沿PB指向B船，A船就可以拦到B船，如图所示，根据相对速度的关系ABAvvv岸B岸即0Avvv，它们组成的矢量三角形中，要让Av最小，则应有Avv，所以00sinAavvvb，这就是A船的最小速率0minavvb。说明：当然，解决运动学类问题的图像法也不尽局限于上面的几项，有时还需根据实际情况灵活运用。不妨看看下面这道题。14．一个有趣的竞赛题：一只老鼠离开洞穴沿一直线运动，其速度大小与其离开洞口的距离成反比，当其到达距洞口为1d的A点时速度为1v，若B点离洞口的距离为2d，(2d＞1d)求老鼠由A运动至B所需的时间。分析:老鼠的运动即不是匀速直线运动也不是匀变速直线运动，不能直接用方程计算由A到B的时间。老鼠运动速度/vkd，vd图像是一条双曲线，且不便于观察图像所反映的物理规律，而1dv若灵活点改为画1/vd图像，则其图像为一过原点的直线，且图像与横轴所围成的面积（1dv）为时间，因而求出面积便可得到时间t。解析：设老鼠在B点的速度为2v，由/vkd有：1122vdvd①由1dv图像面积的物理含义得时间：2112111()()2tddvv②由①②得222