函数的基本性质(总结版)

1函数的基本性质基础知识：1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数。（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；②设()fx，()gx的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)（f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数y=f[g(x)]，其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g:x→u=g(x)的象集：①若u=g(x)在A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是增函数；②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y=f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：○1任取x1，x2∈D，且x1x2；2、作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；2○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数。3、函数的周期性如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.性质：①如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为||T。例题：1、讨论函数xxxf1)(的单调性。2、11xyx的递减区间是；)23(log221xxy的单调递增区间是。3、已知奇函数)(xf是定义在)2,2(上的减函数,若0)12()1(mfmf，求实数m的取值范围。4、函数)112lg()(xxf的图象()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线xy对称5、设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=____6、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x－2)，若f(x)在[﹣2，0]上递增，则AA．f(1)f(5.5);B．f(1)f(5.5)C．f(1)=f(5.5)D．以上都不对.7、已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，求f(2004)3习题：题型一：判断函数的奇偶性1、以下函数：（1）)0(1xxy；（2）14xy；（3）xy2；（4）xy2log；（5）)1(log22xxy，(6)221)(2xxxf；其中奇函数是______，偶函数是______，非奇非偶函数是_________2、已知函数)(xf=11xx,那么)(xf是()A.奇函数而非偶函数B.偶函数而非奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既非奇函数也非偶函数题型二：奇偶性的应用1、已知偶函数)(xf和奇函数)(xg的定义域都是(-4,4),它们在0,4上的图像分别如图（2-3），则关于x的不等式0)()(xgxf的解集是_____________________。yy=g(x)-4-2y=f(x)-2-40xyx0图(2-3)2、已知5)(357dxcxbxaxxf，其中dcba,,,为常数，若7)7(f，则)7(f_______3、下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是（）（A）()sinfxx（B）()1fxx（C）1()2xxfxaa（D）2()ln2xfxx4、已知函数)(xfy在R是奇函数，且当0x时，xxxf2)(2，则0x时，)(xf的解析式为_______________5、若fx是偶函数,且当0,x时,1fxx,则10fx的解集是（）A.10xxB.012xxx或C.02xxD.12xx题型三：判断证明函数的单调性1、判断并证明12)(xxf在),0(上的单调性42、判断122)(2xxxf在)0,(上的单调性题型四：函数的单调区间1、求函数20.7log(32)yxx的单调区间；2、下列函数中，在)0,(上为增函数的是（）A.842xxyB.)0(3aaxyC.12xyD.)(log21xy3、函数xxxf1)(的一个单调递增区间是（）（A）,0（B）0,（C）1,0（D）,14、下列函数中，在(0，2)上为增函数的是()(A)y=-3x+1(B)y=|x+2|(C)y=x4(D)y=x2-4x+35、函数y=245xx的递增区间是()(A)(-∞，-2)(B)[-5，-2](C)[-2，1]．(D)[1，+∞)．题型五：单调性的应用1、函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是()(A)[3，+∞)(B)(-∞，-3](C){-3}(D)(-∞，5]2.已知函数f(x)=2x2-mx+3，当x∈(-2，+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2)时是减函数，则f(1)等于()(A)-3(B)13(C)7(D)由m而决定的常数．3、若函数7)(23bxaxxxf在R上单调递增，则实数a,b一定满足的条件是（）A．032baB．032baC．032baD．132ba4、函数1)(],1,1[,223)(xfxabaxxf若恒成立，则b的最小值为.5、已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。5题型六：周期问题1、奇函数)(xf以3为最小正周期，3)1(f，则)47(f为()A.3B.6C.-3D.-62、设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递增，且y=f(x)的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是()(A)f(1.5)f(3.5)f(6.5)(B)f(3.5)f(1.5)f(6.5)(C)f(6.5)f(3.5)f(1.5)(D)f(3.5)f(6.5)f(1.5)3、已知xf为偶函数,且xfxf22,当02x时,xxf2,则2006f（）A．2006B．4C．4D．414、设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10x时，xxf)(，则)5.47(f等于_____5、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.6、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m＋x)＝f(m－x)，且f(x)是偶函数,求证:2m是f(x)的一个周期.7、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝3，对任意的x∈R，均有f(x＋4)＝f(x)＋f⑵，求f(2001)的值.