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-1-2.2基本不等式一元二次函数、方程和不等式首页课标阐释思维脉络1.理解基本不等式ab≤a+b2(a,b≥0).2.能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.3.能运用基本不等式证明不等式和比较代数式的大小.课前篇自主预习一二一、基本不等式1.(1)在上节课中,我们学习了一个重要不等式:若a,b∈R,则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立).如果a0,b0,我们用𝑎、𝑏分别代替不等式中的a、b,可得到什么形式?提示:得到a+b≥2𝑎𝑏.(2)这个不等式我们经常写成𝑎𝑏≤𝑎+𝑏2(a0,b0),并称这个不等式为“基本不等式”.等号成立的条件是什么?提示:当且仅当a=b时,等号成立.(3)我们称𝑎𝑏为a,b的几何平均数,称𝑎+𝑏2为a,b的算术平均数.如何用这两个概念描述基本不等式?提示:基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.课前篇自主预习一二(4)如图所示,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD',连接AD、BD.①AB表示什么?②𝑎+𝑏2表示哪条线段?③𝑎𝑏对应哪个线段呢?④OD与CD的大小关系如何?从中你能发现什么?提示:①AB表示圆的直径;②𝑎+𝑏2表示线段OD;③𝑎𝑏对应线段CD;④圆的半径大于或等于CD,即𝑎+𝑏2≥𝑎𝑏.基本不等式的几何意义是“半径不小于半弦”.课前篇自主预习一二2.填空我们称不等式𝑎𝑏≤𝑎+𝑏2为基本不等式,其中a0,b0,当且仅当a=b时,等号成立.课前篇自主预习一二二、利用基本不等式求最值1.填写下面的两个表格:x+y101010101010101010x(x0)123456789y(y0)987654321xyxy111111111x(x0)1514131212345y(y0)x+y课前篇自主预习一二根据以上表格,并结合基本不等式分析:(1)当x+y是定值时,xy有最大值还是最小值?最值等于什么?(2)当xy是定值时,x+y有最大值还是最小值?最值等于什么?提示:填表略,(1)当x+y是定值时,xy有最大值,且最大值等于𝑥+𝑦22;(2)当xy是定值时,x+y有最小值,且最小值等于2𝑥𝑦.课前篇自主预习一二2.填空基本不等式与最值已知x,y都是正数.(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值14S2.(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2𝑃.课前篇自主预习一二3.做一做已知x0,y0.(1)若xy=4,则x+y的最小值是;(2)若x+y=4,则xy的最大值是.解析:(1)∵x0,y0,xy=4,∴x+y≥2𝑥𝑦=4.当且仅当x=y=2时,等号成立,∴x+y的最小值为4.(2)当x+y=4时,𝑥𝑦≤𝑥+𝑦2=2,∴xy≤4,当且仅当x=y=2时,等号成立,∴xy的最大值为4.答案:(1)4(2)4课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练基本不等式的理解例1下列命题正确的是()A.若x≠0,则x+4𝑥≥4B.若a,b∈R,且ab0,则𝑏𝑎+𝑎𝑏≥2C.𝑥2+2+1𝑥2+2的最小值为2D.y=2-3x-4𝑥≥2-43(x0)课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练解析:从基本不等式成立的条件入手,对每个选项判断.A选项,只有当x0时,不等式才成立,A错误;B选项,因为ab0,所以𝑏𝑎0,𝑎𝑏0,由基本不等式知B正确;C选项,若最小值为2,需(𝑥2+2)2=1,得x2=-1,无实数解,不正确;D选项,y=2-3x+4𝑥≤2-43,不正确.答案:B反思感悟应用基本不等式时要注意以下三点(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练变式训练1下列结论不成立的是()A.若a,b∈R,则a10+b10≥2a5b5D.若a∈R,则有a2+9≥6a答案:CB.若x≠0,则x2+1𝑥2≥2C.若𝑎𝑏+𝑏𝑎≥2,则必有a0,b0解析:由基本不等式可知,若𝑎𝑏+𝑏𝑎≥2成立,则有𝑎𝑏0,𝑏𝑎0,因此a0,b0或a0,b0,故C选项不成立.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练探究二利用基本不等式证明不等式例2(1)已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎.(2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,求证:1𝑎-11𝑏-11𝑐-1≥8.分析:(1)不等式的左边是和式,右边是带根号的积式之和,用基本不等式,将和变积,并证得不等式.(2)不等式右边的数字为8,使我们联想到对左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘;又1𝑎-1=1-𝑎𝑎=𝑏+𝑐𝑎≥2𝑏𝑐𝑎,可由此变形入手.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练证明(1)∵a0,b0,c0,∴a+b≥2𝑎𝑏0,b+c≥2𝑏𝑐0,c+a≥2𝑐𝑎0.∴2(a+b+c)≥2(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎),即a+b+c≥𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎.∵a,b,c为不全相等的正实数,∴等号不成立.∴a+b+c𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练(2)∵a,b,c为正实数,且a+b+c=1,∴1𝑎-1=1-𝑎𝑎=𝑏+𝑐𝑎≥2𝑏𝑐𝑎,同理可得1𝑏-1≥2𝑎𝑐𝑏,1𝑐-1≥2𝑎𝑏𝑐.由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得1𝑎-11𝑏-11𝑐-1≥2𝑏𝑐𝑎·2𝑎𝑐𝑏·2𝑎𝑏𝑐=8.当且仅当a=b=c=13时,等号成立.故1𝑎-11𝑏-11𝑐-1≥8.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练反思感悟利用基本不等式证明不等式的注意事项(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的目的.(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.(3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.(4)在证明不等式的过程中,注意充分利用“1的代换”,即把常数“1”替换为已知的式子,然后经过整理后再利用基本不等式进行证明.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练变式训练2(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.(2)已知a0,b0,且a+b=2,求证:1𝑎+1𝑏≥2.证明(1)因为a,b,c,d都是正数,所以ab+cd≥2𝑎𝑏𝑐𝑑,ac+bd≥2𝑎𝑏𝑐𝑑,于是(ab+cd)(ac+bd)≥2𝑎𝑏𝑐𝑑·2𝑎𝑏𝑐𝑑=4abcd.当且仅当ab=cd,且ac=bd时等号成立.故(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.(2)由于a+b=2,所以1𝑎+1𝑏=12𝑎+𝑏𝑎+𝑎+𝑏𝑏=12𝑏𝑎+𝑎𝑏+2≥122𝑏𝑎·𝑎𝑏+2=2,当且仅当𝑏𝑎=𝑎𝑏,即a=b时等号成立.故1𝑎+1𝑏≥2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练探究三利用基本不等式求最值例3(1)已知x0,则+x的最小值为()A.6B.5C.4D.3(2)已知a0,b0,且ab=1,则a+4b的最小值为.答案:(1)A(2)49𝑥解析:(1)∵x0,∴9𝑥+x≥2𝑥·9𝑥=6,当且仅当x=9𝑥,即x=3时等号成立,此时取得最小值6.(2)因为a0,b0,且ab=1,所以a+4b≥24𝑎𝑏=4,当且仅当a=4b,即a=2,b=12时取等号.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练延伸探究例题第(2)问,改为“已知a0,b0,且a+4b=4”,求ab的最大值.解:∵a0,b0,4=a+4b≥24𝑎𝑏=4𝑎𝑏,解得ab≤1,当且仅当a=4b=2,即a=1,b=12时等号成立.此时ab取得最大值1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练1.已知x0,则x+12𝑥的最小值为()A.12B.1C.22D.2解析:由基本不等式,得x+12𝑥≥2𝑥·12𝑥=2,当且仅当x=12𝑥,即x=22时等号成立,故最小值为2.答案:D2.已知正数x,y满足4𝑥+9𝑦=1,则xy有()A.最小值12B.最大值12C.最小值144D.最大值144答案:C解析:4𝑥+9𝑦≥236𝑥𝑦,即𝑥𝑦≤12,∴xy≤144.课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练3.当且仅当x=时,4x+1𝑥(x0)取得最小值.解析:由于x0,由基本不等式可得4x+1𝑥≥24𝑥·1𝑥=4,当且仅当4x=1𝑥(x0),即当x=12时,等号成立.答案:124.𝑥+4𝑥的最小值等于.解析:由基本不等式可知𝑥+4𝑥≥2𝑥·4𝑥=4,当且仅当𝑥=4𝑥,即x=4时取最小值.答案:4课堂篇探究学习探究一探究二探究三随堂演练5.已知a,b都是正数,且a+b=1,求证:1+1𝑎1+1𝑏≥9.证明(方法一)∵a0,b0,且a+b=1,∴1+1𝑎1+1𝑏=1+𝑎+𝑏𝑎·1+𝑎+𝑏𝑏=2+𝑏𝑎·2+𝑎𝑏=5+2𝑏𝑎+𝑎𝑏≥5+4𝑏𝑎·𝑎𝑏=9.当且仅当𝑏𝑎=𝑎𝑏,即a=b=12时取“=”号.∴1+1𝑎1+1𝑏≥9.(方法二)1+1𝑎1+1𝑏=1+1𝑏+1𝑎+1𝑎𝑏=1+𝑎+𝑏𝑎𝑏+1𝑎𝑏.∵a+b=1,∴1+1𝑎1+1𝑏=1+2𝑎𝑏.又a,b0,∴0ab≤𝑎+𝑏22=14.∴1𝑎𝑏≥4,当且仅当a=b=12时取“=”号.∴1+1𝑎1+1𝑏≥1+2×4=9.
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