反例在数学教学中的运用

第1页共8页反例在数学教学中的运用江西省湖口中学崔小昊[内容提要]当前，在数学教学过程中，教师对运用反例的作用认识不够，教材也没有给予足够的重视。虽然证明在数学学习中有重要的作用，但作为问题的另一方面，也应清楚反例在数学学习中的重要性。注重反例教学培养学生思维的严密性、灵活性及注重反例构造培养学生思维的发散性、深刻性和创新性在数学教学中的重要性已越来越被人们重视和认可。反例构造还是诱发学生创造力的很好载体。[关键词]数学教学；反例；思维；反例构造在数学教学中，要证明一个命题正确，必须经过严格的推证，而要否定一个命题却只需举出一个与结论相矛盾的例子就行。这种与命题相矛盾的例子称为反例。反例具有直观、说服力强等突出特点，它在数学教学中得到广泛运用。因此在中学数学教学中有意识地使用反例，并加强对反例构造方法的指导，对学生创新思维的发展是大有裨益的。一、注重反例教学，培养学生思维的严密性数学是一门严谨的学科，主要体现于对数学概念的理解、解决实际数学问题的思维。1、反例用于强化概念在概念的学习中，有些学生不注意领会定义中的关键性词句，不善于抓住概念的本质属性，经常出现理解上的混肴或应用上的失误。对此，教师在教学中，不仅要运用正面的例子加以阐述，而且要善于借助反例的简明且具有说服力的否定来澄清学生的片面认识，强化对概念的理解，这样往往能起到正面例子难以起到的作用。例如，学习《等腰直角三角形》时，等腰直角三角形的本质属性较多，内涵丰富，由“等腰”、“直角”、“三角形”三方面组成。一些学生学习后，不是丢了等腰，就是忘了直角，有的甚至连三角形的两边之和大于第三边都不考虑了。此时要举反例，如“直角”常为学生忽视，错把等腰三角形判定为等腰直角三角形，这时老师应出示等腰直角三角形的正确图形，引导学生在比较中再次认识“直角”，否定错误的认识。另外“等腰”、“三角形”等性质亦可如是强调。因此，当学生对内涵丰富的知识感知不全时可通过数学反例，突显出所学知识中易为学生忽视的本质属性，促进学生对所学知识的全面认识，深刻理解。又如，对正三棱锥的概念，学生往往忽视“顶点在底面的射影是底面的中心”这一条件，误认为“底面是正三角形，各侧面均为等腰三角形的三棱锥就是正三棱锥”。对此，可举反例如下：如图1所示，三棱锥ABCS中，32SBSA,SCACBCAB。显然底面为正222332图1ABCS第2页共8页三角形，侧面均为等腰三角形，但三棱锥ABCS却不是正三棱锥。2、反例用于纠正错解面对学生解题中所出现的共性错解，教师一般不要急于点破，而应示以反例，曲中窥直，用反例说明解法有误，从而引导学生去追寻问题错误的根源，并指导学生纠正错误，最终让师生共同品尝成功的“甘甜”。例如，学生在学习了等比数列前n项和公式后，在求等比数列前n项和时往往直接应用公式qqaSnn1)1(1，而不考虑公比是否等于1。对此，教师可以设计这样一道题，求和：ncoscoscoscos32.多数学生都能熟练地套用公式，但大多数学生都忽略了0cos和1cos这两种情况应另类考虑，经教师提醒后，学生终于认识到0cos时，{ncos}不是等比数列；当1cos时，{ncos}虽是等比数列，但q=1，因此求和时也不能套用上面的公式。这一反例可以促进学生对等比数列分类条件的重视，使学生知道对待每一个数学问题，必须仔细观察，培养自己敏锐的观察力和丰富的想象力，提高数学思维的严密性。二、注重反例教学，培养学生思维的灵活性因为反例在辨析错误中具有直观、说服力强等突出特点，所以注重反例教学不但能使学生发现错误和漏洞，而且还可以修补相关知识，学会多角度考虑问题，提高思维的灵活性。1、反例用于强调条件学生在学习公式、法则、定理时，往往侧重于记忆其结论，不注意它们的使用范围，以致使用时生搬硬套、错误百出的现象极为严重。因此，教师在讲授时，要反复强调公式、法则、定理中的限制条件，指出它们的应用范围，并可根据学生的知识水平，适当地举出一些反例，以突出“限制条件”的重要性。例如，用均值不等式2ba≥ab（Rba,，当且仅当ba时取等号），3cba≥3abc（Rcba,,，当且仅当cba时取等号）求最值时，必须满足两个条件：其一是必须保证不等式的右边为常数；其二是必须能取到等号。例1：已知Rba,且12ba，求ab的最大值。错解：∵2ba≥ab∴ab≤2)2(ba……①当且仅当ba时，即31ba时ab≤91)2(23131∴31ba时，ab的最大值是91.但若41a，21b时，ab=81，很明显8191，因而91并不是ab的最大值。其错第3页共8页误的原因就在于①式右边不是常数。正解：∵12ba∴ba)2(≤2122ba∴ab≤81当且仅当ba2时，即41a，21b时取等号，∴ab的最大值是81.例2：0x，243xx的最小值。错解：∵0x∴224243xxxxx≥642332xxx……②∴243xx的最小值为6.显然，此解法是错误的，因为②式取等号的条件是242xxx，而满足此等式的x是不存在的。故②式不能取等号，只能得出6432xx.正解：∵0x∴224232343xxxxx≥33293423233xxx当且仅当2423xx即3923x时取等号，∴243xx的最小值为393.2、反例用于畅通思路当学生遇到难题时，思维非常容易受阻，迫使他们寻求新的解法，从而提高思维的灵活性。例：设正多面体的每个面都是正n边形，以每个顶点为端点的棱有m条，棱数为E，面数为F，则它们之间的关系一定正确的是（）。①EnF2②EmV2③2EFV④EmF2A)、③B)、①③C)、①②③D)、①②③④大部分同学一遇到题目中只有字母，无数字时，就不知从何处下手。实际上，做这类题时，最好的方法就是举例子验证。分析：由欧拉公式知③是正确的，且在四个答案中都有。那么还有哪些是正确的呢？由于正多面体只有5种，可举几个正多面体为例验证一下。有的同学用的是正四面体，发现n=3，m=3，F=4，E=6，V=4，则①、②、④也都正确，认为全部正确，选(D).其实在正六面体中，n=4，m=3，F=6，E=12，V=8，此时④中的mF=18，E2第4页共8页=24,mF≠E2，所以该题的正确答案选(C).又如图2所示，有一长方体1111DCBAABCD，其长cmAB5，宽cmAD4，高cmAA31，求由顶点A沿着表面到对角顶点1C的最短路线的长。开始时，有较多学生误认为长、宽和高之和123451CCBCAB为所求路线之长。当教师举出自A沿棱AB和右侧面对角线1BC和1C所得路线长为1210435221BCAB时，学生们清醒地意识到原来的解答有误，并兴趣盎然地探求新的解题思路。类似地出现：108.9344354221DCAD及3444.941345322111CAAA教师进一步稍加点拨，学生们受反例的启发，思路又自然地被引向展开侧面的深层考虑。由图3可知，A沿着表面到1C的最短路线的长为cm745)43(22.三、注重反例教学，培养学生思维的深刻性反例往往是伴随着数学教学中命题的推广，正面证明失效后产生的，所以运用反例时不能就事论事，而要把问题的产生过程，如何举出反例的思维过程充分展现给学生，使反例的提出与整个推理过程有机地结合，从而培养学生思维的深刻性。例如，“xsiny在第一象限内是增函数”这一说法正确吗？大部分同学在刚开始学习正弦函数时，对于上述命题很难做出正确的判断。认为从正弦函数图像中可以看出该命题是正确的。其实这一说法是错误的。因为，当我们取351x，62x这里虽有21xx，可是)()(21xfxf。那错在什么地方？就错在忽视了xsiny的单调增区间是)22,22(kk，所以当两个角在同一象限但不在同一单调区间内时，上述命题的说法则是错误的。又如，若2a，2b，2c成等差数列，问cb1，ca1，ba1是否也成等差数列。这时，同学们可能会立刻用自己学过的等差数列知识来求证。比如有位同学是这样解：∵2a，2b，2c成等差数列∴2b-2a=2c-2b整理得：(b+a)(b-a)=(c+b)(c-b)即:abbcbcab图2A1B1BADCC1D15354434图3CB1C1CC1D1DC1DAA1B1BD1第5页共8页再在两边同时除以(a+c)得:))(())((cababccbcaab把上式拆成:cabacbca1111∴cb1，ca1，ba1也成等差数列。初看此解的过程好像是正确的，但你只要仔细想一下就会发现问题的所在。若a=c=-b时，虽然2a，2b，2c还是成等差数列，但(b+a)，(c+b)都等于零，分母是不能为零的，所以结论是不成立的。再如，学生学习《三垂线定理及逆定理》时，往往忽视“平面内的一条直线”中“内”的特定条件。教学中可用如下反例来启发学生，如图4所示，在正方体1111DCBAABCD中，因为BA1∥1CD，1CD⊥DC1，所以DC1⊥BA1，又11BA是BA1在平面11DB内的射影，故DC1⊥11BA。事实上，因为11BA∥11DC，4511DDC，所以DC1与11BA所成的角为45º，并不垂直。造成上述错误的原因是忽视了“DC1不在平面11DB内”，用这个反例来说明定理中“内”字的重要性，使学生的体会尤为深刻。四、注重反例构造，培养学生思维的发散性教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构造反例，这实际上是为学生创设了一种探索情景，又由于在通常情况下，许多反例的构造并不是惟一的，这就需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解，并调动他们全部的数学功底，充分展开想象，因此，构造反例的过程也是学生发散思维的充分发挥和训练过程。1、反例用于否定谬误在立体几何学习中，常见学生通过类比、推广等方法得出一些错误的命题，要否定这些谬误，反例往往是最强有力的武器。例如，梯形的中位线定理，有的学生盲目地把它类比推广到空间中的台体上，误认为“台体的中截面面积等于上、下底面面积之和的一半”。为了否定这一谬误，可构造如下反例：设圆台中，2,3,1中下上RRR，则上S，9下S，4中S,显然429，即2下上中SSS。又如，有的学生把“圆柱过两条母线的截面中，以轴截面的面积为最大”的结论移植到圆锥中，误认为“圆锥过两条母线的截面中，亦以轴截面的面积为最大”。此时，可构造反例：一个圆锥顶角为120º，母线长为2，作一个过圆锥两条母线的截面，其顶角为90º，则圆锥轴截面面积3120sin2221轴S；顶角为90º的截面面积290sin2221截S；图4DACBD1A1B1C1第6页共8页显然截轴SS。可见，当圆锥顶角大于90º时，并非以轴截面面积为最大。2、反例用于拓展思维例如在讲授《实数》一节内容时，我曾安排了这样一个思考题：两个无理数的和是否一定是无理数？学生们马上举出几个反例如：5与-5，π与-π，23与32等，它们的和都等于零。这些反例的共同特征是：互为相反数的两个无理数之和为有理数。有一个学生在思考后给出了这样的事例：a=2.12112111211112……，b=1.2122122212221这里a与b都是无理数，但a+b=3.3333……却是一个无限循环小数，是有理数。对于a=2.12112111211112……，b=1.2122122212221……这两个数都是无理数，同学们都是清楚的，不难想到的，但是这位学生在无理数的基础上，能进一步深入思考与探索，发现a、b之和也是有理数这一重要特征，从而使问题顺利解决，其观察之深刻，联想之及时，想象之丰富，使作为教师的我也惊叹不已。这一事例说明教师在日常教学中，可经常选择一些发散性