沪科版七年级数学下册第八章乘法公式与因式分解专题—考点重难点复习(解析版)

1乘法公式与因式分解专题一、乘法公式1、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2、完全平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.常见的变形：22()()4ababab1、计算：（1）；（2）；（3）．解：（1）原式．（2）原式．（3）原式2、计算：(1)59.9×60.1；(2)102×98解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝＝10000－4＝99963、计算：(1)；(2)；(3)；(4)．解：(1)．22()()abababba,2222abaabb2222)(bababa2222ababab22abab224ababab332222xxyy(2)(2)xx(32)(23)xyyx2222392244xxyy222(2)4xx22(32)(23)(32)(32)94xyyxxyxyxy22600.122100223ab232a22xy223xy22222332396abaabbaabb2(2)．(3)．(4)4、已知m﹣n＝3，mn＝2，求：（1）（m+n）2的值；（2）m2﹣5mn+n2的值．解：∵m﹣n＝3，mn＝2，∴（1）（m+n）2＝m2+n2+2mn＝（m﹣n）2+4mn＝9+8＝17；（2）m2﹣5mn+n2＝（m+n）2﹣7mn＝9﹣14＝﹣5．5、已知有理数m，n满足（m+n）2＝9，（m﹣n）2＝1，求下列各式的值．（1）mn；（2）m2+n2﹣mn．解：（m+n）2＝m2+n2+2mn＝9①，（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝1②，（1）①﹣②得：4mn＝8，则mn＝2；（2）①+②得：2（m2+n2）＝10，则m2+n2＝5．所以m2+n2﹣mn＝5﹣2＝3．6、已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：（1）a2+b2；（2）6ab．解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，∴2（a2+b2）＝8，解得：a2+b2＝4；（2）∵a2+b2＝4，∴4+2ab＝5，解得：ab＝，∴6ab＝3．二、因式分解1、因式分解：（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.（3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.2、公因式：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.222223223222334129aaaaaa22222222244xyxxyyxxyy2222222323222334129xyxyxxyyxxyy3要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.3、因式分解的方法：（1）提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即．（2）公式法①公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：②公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.（3）十字相乘法（4）分组分解法7、下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1）C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+zD．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2解：A、（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2，是整式的乘法运算，故此选项错误；B、（y+1）（y﹣3）≠（3﹣y）（y+1），不符合因式分解的定义，故此选项错误；C、4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z，不符合因式分解的定义，故此选项错误；D、﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2，正确．故选：D．8、下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．﹣1＝（+1）（﹣1）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）D．ax﹣ay﹣a＝a（x﹣y）﹣1解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；m22ababab2222aabbab2222aabbab222aabb222aabb4B、是整式的乘法，故B错误；C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确；D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；故选：C．9、(1)多项式的公因式是________；(2)多项式的公因式是________；(3)多项式的公因式是________；(4)多项式的公因式是________．【答案】(1)3(2)4(3)(4)解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为3.(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是．公因式为4.(3)公因式是（），为一个多项式因式．(4)多项式可变形，其公因式是．10、把﹣6xy﹣3xy﹣8xy因式分解时，应提取公因式（）A.﹣3xyB.-2xyC.xyD.﹣xy【答案】D．【解析】解：﹣6x3y2﹣3x2y2﹣8x2y3=﹣x2y2（6x+3+8y），因此﹣6x3y2﹣3x2y2﹣8x2y3的公因式是﹣x2y2．11、把下列各式因式分解：（1）__________.（2）_________________.【答案】（1）；（2）【解析】.12、因式分解：____________.【答案】；【解析】.13、分解因式：2363xxy324168mnmm()()()xbcaybcaabc2(3)(3)xxxmbca3xmmbca233xxx3x322223222222222168abab2232xxyxyx821aba221xxyx22222323221xxyxyxxxyxxyxxyx2222yxyx22yxxy22222222yxyxyxxyyxxy5（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）．（2）．（3）．（4）．14、分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）．（2）．（3）．（4）．15、分解因式：（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2（2）8ab﹣8b2﹣2a2解：（1）原式＝[（3x﹣2）+（2x+7）][（3x﹣2）﹣（2x+7）]＝（3x﹣2+2x+7）（3x﹣2﹣2x﹣7）＝（5x+5）（x﹣9）＝5（x+1）（x﹣9）；（2）原式＝﹣2（a2﹣4ab+4b2）＝﹣2（a﹣2b）2．16、因式分解：（1）3x2y﹣18xy2+27y3（2）x2（x﹣2）+（2﹣x）解：（1）3x2y﹣18xy2+27y3＝3y（x2﹣6xy+9y2）＝3y（x﹣3y）2；（2）x2（x﹣2）+（2﹣x）＝（x﹣2）（x2﹣1）＝（x﹣2）（x+1）（x﹣1）．17、分解因式：（1）1﹣a2﹣b2﹣2ab（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）解：（1）原式＝1﹣（a+b）2＝（1+a+b）（1﹣a﹣b）；（2）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）•（3a229ab22251xy22168194ab214m22229(3)(3)(3)abababab2222251(5)1(51)(51)xyxyxyxy2222168194949494232323abbababa22214(2)1(21)(21)mmmm21449xx29124xx214aa22111162abab22221449277(7)xxxxx22229124(3)2322(32)xxxxx2222111124222aaaaa222221111112111162444ababababab6﹣2b）．18、已知4x2+y2﹣4x+10y+26＝0，求6x﹣y的值．解：∵4x2+y2﹣4x+10y+26＝4（x﹣）2+（y+5）2＝0，∴x＝，y＝﹣5，则原式＝3+1＝4．19、将下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）解：（1）因为所以：原式＝（2）因为所以：原式＝（3）20、分解因式：（1）；（2）；（3）解：（1）（2）（3）21、因式分解：m2n﹣5mn+6n.解：m2n﹣5mn+6n=n（m2﹣5m+6）=n（m﹣2）（m﹣3）.22、将下列各式分解因式：（1）；（2）解：（1）因为21016xx2310xx78xxx78xx2810xxx28xx2210331052xxxxxx1072xx822xx2718xx271025xxxx22842xxxx22718(718)29xxxxxx7所以：原式＝（2）因为所以：原式＝23、分解因式：解：原式【练习】1.在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（）A.))((nmnmB.3333xyxyC.))((babaD.2222cddc【答案】A；【解析】A中m和m符号相反，n和n符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相同的，另一项互为相反数.2．若xy＝6，xy＝5，则22xy等于()．A.11B.15C.30D.60【答案】C；【解析】22xyxyxy＝6×5＝30.3．下列计算正确的是()．A.55mm＝225mB.1313mm＝213mC.24343916nnnD.(2abn)(2abn)＝224abn【答案】C；【解析】55mm＝225m；1313mm＝219m；(2abn)(2abn)＝2224abn.4．下列多项式不是完全平方式的是()．A.244xxB.mm24191019yyy2335yy21183xxx2379xx22244ababc22222(44)222aabbcabcabcabc8C.2296aabbD.24129tt【答案】A；【解析】2211()42mmm；22296(3)aabbab；224129(23)ttt.5．已知关于x的二次三项式4x2﹣mx+25是完全平方式，则常数m的值为（）A．10B．±10C．﹣20D．±20【答案】D；【解析】解：∵关于x的二次三项式4