构造法解导数不等式问题

构造法解导数不等式问题一．知识梳理常见的构造函数方法有如下法则构造函数1.利用和差函数求导法则构造函数（1）对于不等式00或xgxf，可构造函数xgxfxF。（2）对于不等式00或xgxf，可构造函数xgxfxF。特别地，对于不等式0kkkxf或，可构造函数kxxfxF。2.利用积商函数求导法则构造函数（3）对于不等式00或xgxfxgxf，可构造函数xgxfxF。（4）对于不等式00或xgxfxgxf，可构造函数xgxfxF。（5）对于不等式00或xfxfx，可构造函数xxfxF。（6）对于不等式00或xfxfx，可构造函数0xxxfxF。（7）对于不等式00或xnfxfx，可构造函数xfxxFn。（8）对于不等式00或xnfxfx，可构造函数0xxxfxFn。（9）对于不等式00或xfxf，可构造函数xfexFx。（10）对于不等式00或xfxf，可构造函数xexfxF。（11）对于不等式00或xkfxf，可构造函数xfexFkx。（12）对于不等式00或xkfxf，可构造函数kxexfxF。（13）对于不等式00tan或xxfxf，可构造函数xxfxFsin。（14）对于不等式00tan或xxfxf，可构造函数0sinsinxxxfxF。二．例题讲解a．利用导数解不等式问题（一）常规解不等式例1设函数()fx）是定义在（一，0）上的可导函数，其导函数为xf,且有22xxfxxf,则不等式024201420142fxfx的解集为答案：2016xx变式训练1xf是定义在（0，±∞）上的非负可导函数，且满足xfx+xf≤0,对任意正数a、b,若a＜b，则必有（）A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b)b(b)≤f(a)答案Ｃ变式训练2设函数xf在R上的导函数为f’(x),且xfx+2xfx2,x下面的不等式在R内恒成立的是（）A0)(xfB0)(xfCxxf)(Dxxf)(【答案】A【解析】由已知，首先令0x，排除B，D。然后结合已知条件排除C,得到A变式训练3函数)(xf的定义域为R，2)1(f，对任意Rx，2)(xf，则42)(xxf的解集为（）A．（1，1）B．（1，+）C．（，1）D．（，+）答案B（二）和函数性质相关解不等式例2设函数'()fx是奇函数()()fxxR的导函数，(1)0f，当0x时，'()()0xfxfx，则使得()0fx成立的x的取值范围是（）A．(,1)(0,1)B．(1,0)(1,)C．(,1)(1,0)D．(0,1)(1,)【答案】A【解析】试题分析：记函数()()fxgxx，则''2()()()xfxfxgxx，因为当0x时，'()()0xfxfx，故当0x时，'()0gx，所以()gx在(0,)单调递减；又因为函数()()fxxR是奇函数，故函数()gx是偶函数，所以()gx在(,0)单调递减，且(1)(1)0gg．当01x时，()0gx，则()0fx；当1x时，()0gx，则()0fx，综上所述，使得()0fx成立的x的取值范围是(,1)(0,1)，故选A．考点：导数的应用、函数的图象与性质．变式训练1.已知定义R在上的可导函数)(xf的导函数为)(xf，满足)()(xfxf，且)2(xf为偶函数，f（4）=1，则不等式xexf)(的解集为（）A．(-2，＋∞)B．(0,＋∞)C．(1,＋∞)D．(4，＋∞)答案.B变式训练2设)(),(xgxf分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当0x时，,0)()()()(xgxfxgxf且,0)3(g则不等式0)()(xgxf的解集是（）A．),3()0,3(B．)3,0()0,3(C．),3()3,(D．)3,0()3,(答案.Db．利用导数比较大小（一）常规比较大小例1若0＜x1＜x2＜1，则()A．2121lnlnxxeexxB．2121lnlnxxeexxC．1221xxxexeD．1221xxxexe答案C变式训练1若函数()fx在R上可导，且满足'()()fxxfx，则()A.2(1)(2)ffB.2(1)(2)ffC.2(1)(2)ffD.(1)(2)ff答案A变式训练2设函数fx的导函数为'fx，对任意xR都有'fxfx成立，则（）A.3ln22ln3ffB．3ln22ln3ffC.3ln22ln3ffD.3ln2f与2ln3f的大小不确定答案A变式训练3若定义在R上的函数)(xf的导函数为()fx，且满足()()fxfx，则(2011)f与2(2009)fe的大小关系为（）A.2)2009()2011(effB.2)2009()2011(effC.2)2009()2011(effD.不能确定答案A变式训练4定义在02，上的函数fx,fx是它的导函数,且恒有tanfxfxx成立,则（）A．3243ffB．12sin16ffB．264ffD．363ff答案D（二）利用函数性质比较大小1.已知函数)(xf满足)()(xfxf，且当)0,(x时，)(')(xxfxf0成立，若)2(ln)2(ln),2()2(1.01.0fbfa，cbafc,,),81(log)81(log22则的大小关系是（）A．abcB．cbaC．cabD．acb答案B变式训练1.已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当0x时，不等式()()0fxxfx成立，若a＝，b＝(logπ2)f(logπ2)，c＝21log4f21log4，则a，b，c间的大小关系()A．cbaB．cabC．bacD．acb答案A变式训练2.已知'()fx是定义在R上的函数()fx的导函数，且5()(5),()'()02fxfxxfx若1212,5xxxx，则下列结论中正确的是（）A．12()()fxfxB．12()()0fxfxC．12()()0fxfxD．12()()fxfx答案D变式训练3.已知定义在R上的可导函数)(xf的导函数为)(xf，满足)(xf＜)(xf，且)1(xf为偶函数，1)2(f，则不等式xexf)(的解集为（）A.（4,e）B.（,4e）C.（0,）D.（,0）答案D（三）利用函数解析式1.已知一函数满足x0时，有2()'()2gxgxxx，则下列结论一定成立的是（）A．(2)(1)32ggB．(2)(1)22ggC.(2)(1)42ggD．(2)(1)42gg答案Bc．利用导数解决零点问题例定义在R上的奇函数)(xfy满足0)3(f，且不等式)()(xfxxf在),0(上恒成立，则函数)(xg=1lg)(xxxf的零点的个数为（）A.4B.3C.2D.1答案B变式训练1已知定义在R上的奇函f(x)的导函数为f’(x)，当x0时，f（x）满足2'()fxxfxx，则f(x)在R上的零点个数为()C.5D.1或3答案A变式训练2已知()yfx为R上的连续可导函数，当x≠0时()'()0fxfxx，则函数1()()gxfxx的零点个数为（）或2答案C三．课后练习1.定义在R上的函数()fx满足：()1()fxfx，(0)6f，()fx是()fx的导函数，则不等式()5xxefxe（其中e为自然对数的底数）的解集为()A．0,B．,03,UC．,01,UD．3,【答案】A2.函数fx的定义域是R，02f，对任意,1xRfxfx，则不等式1xxefxe的解集为（）A.|0xxB.|0xxB.|101xxx或D.|11xxx或【答案】A3.函数)(xf的导函数为)(xf，对xR，都有2()()fxfx成立，若2)4ln(f，则不等式2()xfxe的解是（）A．ln4xB．0ln4xC．1xD．01x【答案】A4.)(xf是定义在非零实数集上的函数，)(xf为其导函数，且0x时，0)()(xfxfx，记5log)5(log2.0)2.0(2)2(22222.02.0fcfbfa，，，则()A．cbaB．cabC．bacD．abc【答案】C5.已知函数()fx的导函数为()fx，且满足()2()fxfx，则()A．2(2)(1)fefB．2(0)(1)effC.9(ln2)4(ln3)ffD．2(ln2)4(1)eff答案B6.已知()fx是定义在R上的可导函数，当(1)x，时，(1)()()(1)0xfxfxx恒成立，若11(2)(3)(2)221afbfcf，，，则abc，，的大小关系是（）A．cabB．abcC．bacD．acb【答案】A【解析】令()()1fxFxx，则因为(1)x，时，(1)()()(1)0xfxfxx恒成立，所以()Fx＝(1)()()(1)0(1)xfxfxxx，所以()Fx在(1)，上是增函数．因为(2)(2)(2)21fafF=，1(3)2bf＝(3)(3)31fF=，1(2)(2)21cfF，又223，所以(2)(2)(3)Fff，即cab，故选A．7.设xf是函数xf导函数，且efRxxfxf21..2（e为自然对数的底数），则不等式2lnxxf的解集为（）A.2,0eB．e,0C．2,1eeD．ee,2答案B8.已知函数xf的定义域为R，且40,1fxfxf，则不等式xexf3ln1的解集为（）A.,1B．,0C．,1D．,e答案B9.已知f(x)是可导的函数，且f′(x)f(x)对于x∈R恒成立，则()A．f(1)ef(0)，f(2016)e2016f(0)B．f(1)ef(0)，f(2016)e2016f(0)C．f(1)ef(0)，f(2016)e2016f(0)D．f(1)ef(0)，f(2016)e2016f(0)答案D解析令g(x)＝fxex，则g′(x)＝(fxex)′＝fxx－fxxe2x＝fx－fxex0，所以函数g(x)＝fxex是单调减函数，所以g(1)g(0)，g(2016)g(0)，即fe1f1，fe2016f1，故f(1)ef(0)，f(2016)e2016f(0)．10.设函数xf在R上存在导数xf，对任意的实数x，有,22xxfxf当0,x时，xxf21，若