单位圆中的三角函数

1.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），角α的三角函数是怎样定义的？sinycosxtan(0)yxx2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？一全正，二正弦，三正切，四余弦.3.公式，，().其数学意义如何？sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ终边相同的角的同名三角函数值相等.4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.复习引入正弦线和余弦线问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则，都是正数，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？sinycosxP（x，y）OxyM||sinMPy||cosOMx问题2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则，都是负数，此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？sinycosx||sinMPy||cosOMxP（x，y）OxyM正弦线和余弦线为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.根据实际需要，我们规定线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向.规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段.由上分析可知，当角α为第一、三象限角时，sinα、cosα可分别用有向线段MP、OM表示，即MP=sinα，OM=cosα，那么当角α为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？P（x，y）OxyMP（x，y）OxyM思考：设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦线的含义如何？POxyMOxyPP思考：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα＋cosα1吗？POxyMMP＋OMOP=1正切线AT问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是正数，用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？tanyxPOxyMtanyATxAT问题2：若角α为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？tanyxPOxyMtanyATx正切线ATATPOxyM思考：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？tanyxtanyATxtanyx思考：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是正数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？POxyMATATtanyATx思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则AT=tanα.ATOxyPATOxyP思考：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的含义如何？OxyPP当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.思考：观察下列不等式：你有什么一般猜想？sintan666pppsintan444pppsintan333ppp思考：对于不等式（其中α为锐角），你能用数形结合思想证明吗？sintanaaaPOxyMAT例1在0～内，求使成立的α的取值范围.23sin2aOxy2(,)33ppaÎPMP1P232y=例2求函数的定义域.()2cos1faa=-OxyP2MP112x=[2,2]()33kkkZppapp?++?P1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具.2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点O和点A（1，0）.3.利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想.总结