归纳二重积分的计算方法

1归纳二重积分的计算方法摘要：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.关键词：函数极限；计算方法；洛必达法则;四则运算前言二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.1.预备知识1.1二重积分的定义]1[设,fxy是定义在可求面积的有界区域D上的函数.J是一个确定的数,若对任给的正数,总存在某个正数,使对于D的任意分割T,当它的细度T时,属于T的所有积分和都有1,niiiifJ,则称,fxy在D上可积,数J称为函数,fxy在D上的二重积分,记作,DJfxyd,其中,fxy称为二重积分的被积函数,,xy称为积分变量,D称为积分区域.1.2二重积分的若干性质1.21若,fxy在区域D上可积,k为常数,则,kfxy在D上也可积,且,Dkfxyd,Dkfxyd.21.22若,fxy,,gxy在D上都可积,则,,fxygxy在D上也可积,且[,,]Dfxygxyd,,DDfxydgxyd.1.23若,fxy在1D和2D上都可积,且1D与2D无公共内点,则,fxy在12DD上也可积,且12,DDfxyd12,,DDfxydfxyd1.3在矩形区域上二重积分的计算定理设,fxy在矩形区域D,,abcd上可积,且对每个,xab,积分,dcfxydy存在,则累次积分,bdacdxfxydy也存在,且,Dfxyd,bdacdxfxydy.同理若对每个,ycd,积分,bafxydx存在,在上述条件上可得,Dfxyd,dbcadyfxydx2.求的二重积分的几类理论依据二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X型\Y型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法.2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算X型区域:12,,DxyyxyyxaxbY型区域:12,,Dxyxyxxycyd定理:若,fxy在X区域D上连续,其中1yx,2yx在,ab上连续,则,Dfxyd21,byxayxdxfxydy即二重积分可化为先对y,后对x的累次积分.同理在上述条件下,若区域为Y型,有3,Dfxyd21,dxycxydxfxydy例1求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V.解：设圆柱底面半径为a,两个圆柱方程为222xya与222xza.只要求出第一卦限部分的体积,然后再乘以8即得所求的体积.第一卦限部分的立体式以22zax为曲顶,以四分之一圆域D:220,0,yaxxa为底的曲顶柱体,所以22222222300012()83aaxaDVaxddxaxdyaxdxa于是3163Va.另外,一般常见的区域可分解为有限个X型或Y型区域,用上述方法求得各个小区域上的二重积分,再根据性质1.23求得即可.2.2二重积分的变量变换公式定理:设,fxy在有界闭域D上可积,变换T:,xxuv,(,)yyuv将平面uv由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成xy平面上的闭区域D,函数,xxuv,(,)yyuv在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式,,0,xyJuvuv,,uv,则,,,,,DfxydxdyfxuvyuvJuvdudv.用这个定理一般有两个目的,即被积函数化简单和积分区域简单化.例1求xyxyDedxdy,其中D是由0x,0y,1xy所围区域.解为了简化被积函数,令uxy,vxy.为此作变换T:1()2xuv,1()2yuv,则411122,011222Juv.即111100111()2224xyuuvxyvvvDeeedxdyedudvdveduveedv例2求抛物线2ymx，2ynx和直线yx，yx所围区域D的面积()D(0,0)mn．解D的面积()DDdxdy．为了简化积分区域，作变换T：2uxv，uyv．它把xy平面上的区域D对应到uv平面上的矩形区域,,mn．由于234212,01uuvvJuvuvvv，,uv，所以22334433()6nmDnmudvDdxdydudvuduvv2.3用极坐标计算二重积分定理:设,fxy在有界闭域D上可积,且在极坐标变换T：cossinxryr0r，02下，xy平面上有界闭区域D与r平面上区域对应，则成立,cos,sin(,)DfxydxdyfrrJrdrd．其中cossin(,)sincosrJrrr．当积分区域是源于或圆域的一部分，或者被积函数的形式为22,fxy时，采用该极坐标变换．二重积分在极坐标下化累次积分的计算方法：5（i）若原点OD，且xy平面上射线常数与D边界至多交与两点，则必可表示成12()()rrr，，于是有21()()(,)(cos,sin)rrDfxydxdydfrrrdr类似地，若xy平面上的圆r常数与D的边界多交于两点，则必可表示成12()()rr，12rrr，所以2211()()(,)(cos,sin)rrrrDfxydxdyrdrfrrd.（ii）若原点为D的内点，D的边界的极坐标方程为()rr，则可表示成0()rr，02.所以2()00(,)(cos,sin)rDfxydxdydfrrrdr.(iii)若原点O在D的边界上,则为0()rr,,于是()0(,)(cos,sin)rDfxydxdydfrrrdr例1计算22()xyDIed,其中D为圆域:222xyR.解利用极坐标变换,由公式得22200(1)RrRIredre.与极坐标类似，在某些时候我们可以作广义极坐标变换：T：cossinxarybr0r，02，6cossin(,)sincosaarJrabrbbr．如求椭球体2222221xyzabc的体积时，就需此种变换．2.4利用二重积分的几何意义求其积分当(,)0fxy时，二重积分(,)Dfxydxdy在几何上就表示以(,)zfxy为曲顶，D为底的曲顶体积．当(,)1fxy时，二重积分(,)Dfxydxdy的值就等于积分区域的面积．例6计算：22221DxyIdab，其中D：22221xyab．解因为被积函数22221xyzab0，所以I表示D为底的22221xyzab为顶的曲顶柱体体积．由平行xoy面的截面面积为()(1)Axabz，(01)z，根据平行截面面积为已知的立体体积公式有101(1)3Iabzdzab2.5积分区域的边界曲线是由参数方程表示的二重积分有关计算２.５１利用变量代换计算设D为有界闭域，它的边界曲线，()t且(,),()Dxyaxbcyyx，当xa时，t；当xb时，t。设(,)fxy在D上连续，且存在(,)Pxy，(,)xyD使得(,)Pfxyy，则'(,){[(),()][(),]}()DfxydxdyPttPtctdt２.５２利用格林公式计算定理若函数(,)Pxy，(,)Qxy在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有7()LDQPdPdxQdyxy这里L为区域D的边界线，并取正方向．计算步骤：（１）构造函数(,)Pxy，(,)Qxy使Qx(,)Pfxyy，但(,)Pxy，(,)Qxy在D上应具有一阶连续偏导数；（２）利用格林公式化曲线积分求之．例7计算34Dxydxdy，D是由椭圆cosxa，sinyb所围成．解法一（利用变量代换）设1D为D在第一象限，则135242425353520444cos,sincossin(sin)5564DDabxydxdyxydxdyxydxxaybabd作变换解法二（利用格林公式）令2515Pxy，0Q，则24Pxyy，0Qx．352242525011(cos)(sin)(sin)5564LDabxydxdyxydxabad2.7积分区域具有对称性的二重积分的简便算法２.７１积分区域关于坐标轴对称性质１若(,)fxy在区域D内可积，且区域D关于y轴（或x轴）对称，则二重积分满足下列性质：10,(,)(,)2(,),(,)DDfxyxyfxydxdyfxydxdyfxyxy为关于（或）的奇函数为关于（或）的偶函数其中1D为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称子域之一．例计算(23)Dhxydxdy，其中D是由222xyR所围成的闭区域．解析由于积分区域D关于x轴＼y轴均对称性，只需考虑被积函数(,)23fxyhxy关于x或y的奇偶性．易见，(,)fxy关于x或y既非奇函数，也非偶函数．若记()2fxx，8()3fyy，则(,)()()fxyhfxfy且()fx为x的奇函数，()fy为y的奇函数．由此由性质１，有41122000cos()cos()0222cos()2cos()12yyDdxdyLDyyxxxyxyxyDDxydxdydyxydx，20DhdxdyhR故有(,)Dfxydxdy()Dfxdxdy()DfydxdyDhdxdyDhdxdy2hR２.７２积分区域关于某直线L对称性质２若(,)fxy在区域D内可积，且区域D关于L对称，则二重积分满足下列性质：10,(,)(,)2(,),(,)DDfxyLfxydxdyfxydxdyfxyL为关于直线的奇函数为关于直线的偶函数其中1D为区域D被L所分割的两个对称子域之一．例求，其中D由直线0y，yx，2x围成．解析对任意(,)xyD，有0xy．而当02xy时，cos()0xy．当2xy时，cos()0xy．故作直线L：2xy，把D分成1D和2D两部分，而1D和2D关于直线L对称．又cos()xy关于直线L偶对称．故cos()Dxydxdy41202cos()2cos()12yyDxydxdydyxydx2.8运用导数的定义求极限例10计算)0(ln)ln(lim0hxhxhx思路：对具有000)()(limxxxfx