三角函数的诱导公式最后更新

1.3三角函数的诱导公式第一课时π+α、-α、π-α、2π-α的诱导公式一、复习引入1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？α的终边P(x，y)Oxysinycosxtan(0)yxx2.2kπ＋α（k∈Z）与α的三角函数之间的关系是什么？公式一：sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ（)3.你能求sin750°和sin930°的值吗？21？4.公式一的用途：公式一把求任意角的三角函数值转化为求)2,0[范围的角的三角函数值问题。我们对)2,0[范围内角的三角函数值很熟悉。若把内角的三角函数值转化为的三角函数值，那么任意角的三角函数值就可以求出，这就是我们这节课要解决的问题。)2,0[)2,0[二、探究新知1.对于任何一个)2,0[内的角有四种可能：，其中)2,0[)2,0[,当),2[,当)23,[,当)2,23[,2当与因此我们只需研究,,2的三角函数关系。观察单位圆.回答下列问题：①角与角的终边有怎样的对称关系？②角与角的终边与单位圆的交点P，P1之间有怎样的对称关系？③P与P1的坐标有怎样的关系？2.角α与的三角函数的关系。α的终边xyoπ+α的终边思考：对于任意给定的一个角α，角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？Π+α的诱导公式：思考：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则角π＋α的终边与单位圆的交点坐标如何？α的终边xyoπ+α的终边P(x，y)Q(-x，-y)思考：根据三角函数定义，sin（π＋α）、cos（π＋α）、tan（π＋α）的值分别是什么？α的终边xyoπ+α的终边P(x，y)Q(-x，-y)sin(π＋α)=-ycos(π＋α)=-xtan(π＋α)=yx思考：对比sinα，cosα，tanα的值，π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？公式二：tan)tan(cos)cos(sin)sin(3.角与的三角函数的关系。①角的终边与的终边有怎样的对称关系？②角的终边、的终边与单位圆交点P与P1有怎样的对称关系？③P与P1的坐标又怎样的关系？观察单位圆，让角的终边绕单位圆一周，回答问题。-α，π-α的诱导公式：思考：对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边有什么关系？yα的终边xo-α的终边思考：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则－α的终边与单位圆的交点坐标如何？yα的终边xo-α的终边P(x,y)P(x,-y)xyxy)tan()cos()sin(公式三：tan)tan(cos)cos(sin)sin(思考：根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？yα的终边xo-α的终边P(x,y)P(x,-y)设角的终边与单位圆交于点P，的终边与单位圆交于P1，当为任意角时：角的终边与的终边有怎样的对称关系？①②P与P1的坐标有什么对称关系？你能写出它们的坐标吗？4.与的三角函数值之间有什么关系？公式四：sin)sin(cos)cos(tan)tan(可以这样思考：利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、三，我们可以得到公式四。公式四：tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan()2tan(cos)cos()2cos(sin)sin()2sin(2kkk，，k即相等故其同名三角函数值也的终边相同与因为角类似于上述的思考，我们可以得出一组补充公式：思考：公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(tan)tan(cos)cos(sin)sin(sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tank2(),,kkZ的三角函数,等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(:一组补充公式：kkk利用诱导公式一～四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：这是一种化归与转化的数学思想.任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π的角的三角函数锐角的三角函数tan32cos()3sin()4cos()sin(2)例1．已知：，求的值。2cos3sin23tan74cossin4tantan3解：∵∴原式3sin5tan[cos(3)sin(5)]例2．已知，且是第四象限角，求的值。tan[cos(3)sin(5)]tan[cos()sin()]tan(cossin)tansintancossin(tan1)43cos,tan542120解：由已知得：，∴原式三、应用举例例3.求下列各三角函数的值：cos225)1(311sin)2()316sin(-)3()cos(-2040)4(跟踪练习：求下列各角的三角函数值。（1）)47sin(（2）32cos（3）)631cos(47sin)47sin()1(:解)42sin(224sin)4sin()3cos(32cos)2(213cos631cos)631cos()3()64cos()6cos(236cos31例4.已知cos(π＋x)＝，求下列各式的值：（1）cos(2π－x)；（2）cos(π－x).例5.化简：)-cos(-180)180-sian(-)360sin()cos(1801)cos(sinsincos)180cos(0)]180(cos[0)180cos(0sin)sin()180sin(0)]180(sin[0所以原式=coscos)180cos(0解：sin)360sin(0)180sin(0跟踪练习131cos9（）94cos)94cos()1sin()2(1sin)5sin()3(5sin(4)cos(7060')'cos706cos190sin(210)5cos(-350)tan585（）1=2例6.利用公式求下列三角函数值：)420cos()1(00420cos)60360cos(002160cos0)67sin()2(67sin)6sin(21)21()6sin()1300sin()3(001300sin)1403604sin(0000140sin)140sin(00040sin)40180sin()679cos()4(679cos)6712cos(67cos)6cos(236cos2.诱导公式一～四要灵活应用，要点：负化正，大化小，化至锐角解决了！小结1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意义时恒成立.（1）化负角的三角函数为正角的三角函数。（2）化为0~360的三角函数。（3）化为锐角的三角函数。用框图表示为：3.利用诱导公式一～四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：这是一种化归与转化的数学思想.任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π的角的三角函数锐角的三角函数用公式一或公式三公式一用公式二或公式四作业：P27练习：1，2，3，4.1.3三角函数的诱导公式第二课时问题提出1.诱导公式一、二、三、四分别反映了2kπ+α（k∈Z）、π＋α、－α、π－α与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是什么？cosxcosx函数同名，象限定号.对形如π－α、π＋α的角的三角函数可以转化为α角的三角函数，对形如、的角的三角函数与α角的三角函数，是否也存在着某种关系？这需要我们作进一步的探究！22pa+思考1：sin（90°－60°）与sin60°的值相等吗？相反吗？思考2：sin（90°－60°)与cos60°，cos（90°－60°）与sin60°的值分别有什么关系？据此，你有什么猜想？2cos)2(sin知识探究（一）：的诱导公式2cos)2(sincos()sin2paa-=cos)2(sin思考3：如果α为锐角，你有什么办法证明，？cos()sin2paa-=αabc2pa-sin()cos2bcpaa-==cos()sin2acpaa-==思考5：点P1（x，y）关于直线y=x对称的点P2的坐标如何？思考4：若α为一个任意给定的角，那么的终边与角α的终边有什么对称关系？2α的终边Oxy的终边2思考6：设角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），则的终边与单位圆的交点为P2（y，x），根据三角函数的定义，你能获得哪些结论？2α的终边P1(x，y)Oxy的终边2P2(y，x)公式五：sin)2cos(cos)2sin(知识探究（二）：的诱导公式2)]2(cos[)2cos()]2(sin[)2sin(思考2：与有什么内在联系？22cos)2sin(sin)2cos()2(2公式六：sin)2cos(cos)2sin(思考6：正弦函数与余弦函数互称为异名函数，你能概括一下公式五、六的共同特点和规律吗？sin)2cos(cos)2sin(sin)2cos(cos)2sin(的三角函数值，等于α的异名函数值，再放上将α当作锐角时原函数值的符号.2思考5：根据相关诱导公式推导，3sin(),2pa-3cos(),2pa-3sin(),2pa+)23cos(cossincossin思考7：诱导公式可统一为的三角函数与α的三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？)Zk(2k奇变偶不变，符号看象限.理论迁移例1化简：)29)sin(-)sin(--)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()cos(-sin(2例2已知，求的值32)6(cos)32(sin例3已知，求的值.31)30(sin)60(sin1)60(cos)30(tan12.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α是任意角，应用时要注意整体把握、灵活变通.小结与作业1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.就是把看作锐角时，原函数值的符号即为变化后的三角函数值的符号基础自测1.已知则tanx等于（）解析3cos(),(