数列的概念与简单表示法专题练习(含参考答案)

数学数列的概念与简单表示法一、选择题1．数列{an}为12，3，112，8，212，…，则此数列的通项公式可能是()A．an＝5n－42B．an＝3n－22C．an＝6n－52D．an＝10n－922．数列23，－45，67，－89，…的第10项是()A．－1617B．－1819C．－2021D．－22233．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的()A．第6项B．第7项C．第19项D．第11项4．已知数列{an}中，a1＝1，若an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5的值是()A．7B．5C．30D．315．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝nn＋1，则1a5等于()A．56B．65C．130D．306．若数列{an}满足a1＝12，an＝1－1an－1(n≥2且n∈N*)，则a2019等于()A．－1B．12C．1D．27．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2n－3B．an＝2n＋3C．an＝1，n＝1，2n－3，n≥2D．an＝1，n＝1，2n＋3，n≥28．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝()A．2nB．2n－1C．2nD．2n－1二、填空题9．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项公式an＝．10．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋1nn＋1，则数列an＝．11．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝____，S5＝_____．12．已知数列{an}是递减数列，且对任意的正整数n，an＝－n2＋2λn恒成立，则实数λ的取值范围为．三、解答题13．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝n＋23an．(1)求a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．14．已知Sn为数列{an}的前n项和，且2Sn＝3an－2(n∈N*)．(1)求an和Sn．(2)若bn＝log3(Sn＋1)，求数列{b2n}的前n项和Tn．1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则a5的值为()A．－2B．－1C．1D．22．若数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，则a10＝()A．55B．10C．9D．13．数列{an}满足an＋1＝2an，0≤an12，2an－1，12≤an1，若a1＝25，则a2019等于()A．15B．25C．35D．454．已知数列{an}满足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，则ann的最小值为()A．21B．10C．172D．2125．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}是递减数列．【参考答案】一、选择题1．数列{an}为12，3，112，8，212，…，则此数列的通项公式可能是(A)A．an＝5n－42B．an＝3n－22C．an＝6n－52D．an＝10n－92[解析]解法一：数列{an}为12，62，112，162，212，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故其通项公式为an＝5n－42．解法二：当n＝2时，a2＝3，而选项B、C、D，都不符合题意，故选A．2．数列23，－45，67，－89，…的第10项是(C)A．－1617B．－1819C．－2021D．－2223[解析]an＝(－1)n＋12n2n＋1，∴a10＝－2021，选C项．3．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的(B)A．第6项B．第7项C．第19项D．第11项[解析]数列即：2，5，8，11，…，据此可得数列的通项公式为：an＝3n－1，由3n－1＝25，解得：n＝7，即25是这个数列的第7项．4．已知数列{an}中，a1＝1，若an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5的值是(D)A．7B．5C．30D．31[解析]由题意得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31．5．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝nn＋1，则1a5等于(D)A．56B．65C．130D．30[解析]∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nn＋1－n－1n＝1nn＋1，∴1a5＝5×(5＋1)＝30．6．若数列{an}满足a1＝12，an＝1－1an－1(n≥2且n∈N*)，则a2019等于(D)A．－1B．12C．1D．2[解析]∵a1＝12，an＝1－1an－1(n≥2且n∈N*)，∴a2＝1－1a1＝1－112＝－1，∴a3＝1－1a2＝1－1－1＝2，∴a4＝1－1a3＝1－12＝12，…，依此类推，可得an＋3＝an，∴a2019＝a672×3＋3＝a3＝2，故选D．7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(C)A．an＝2n－3B．an＝2n＋3C．an＝1，n＝1，2n－3，n≥2D．an＝1，n＝1，2n＋3，n≥2[解析]解法一：当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1时a1的值不适合n≥2的解析式，故通项公式为an＝1，n＝1，2n－3，n≥2.解法二：当n＝1时，a1＝S1＝1，A、B选项不合题意．又a2＝S2－a1＝1，所以D选项不合题意．8．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝(C)A．2nB．2n－1C．2nD．2n－1[解析]当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，∴通项公式为an＝2n.故选C．二、填空题9．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项公式an＝4，n＝12·3n－1，n≥2．[解析]当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1，显然n＝1时，a1不满足上式，∴an＝4，n＝12·3n－1，n≥2．10．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋1nn＋1，则数列an＝3－1n．[解析]由题意，得an＋1－an＝1nn＋1＝1n－1n＋1，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(1n－1－1n)＋(1n－2－1n－1)＋…＋(12－13)＋(1－12)＋2＝3－1n．11．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝__1___，S5＝__121___．[解析]解法一：由a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1，解得a1＝1.由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋12＝3(Sn＋12)，所以{Sn＋12}是以32为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋12＝32×3n－1，即Sn＝3n－12，所以S5＝121．解法二：由a1＋a2＝4a2＝2a1＋1解得a1＝1a2＝3，又an＋1＝2Sn＋1，an＋2＝2Sn＋1＋1，两式相减得an＋2－an＋1＝2an＋1，即an＋2an＋1＝3，又a2a1＝3，∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＋1＝3n，∴Sn＝3n－12，∴S5＝121．12．已知数列{an}是递减数列，且对任意的正整数n，an＝－n2＋2λn恒成立，则实数λ的取值范围为(－∞，32)．[解析]∵数列{an}是递减数列，∴an＋1an恒成立．又an＝－n2＋2λn，∴－(n＋1)2＋2λ(n＋1)－n2＋2λn恒成立，即2λ2n＋1恒成立，又n∈N*，∴λ32．三、解答题13．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝n＋23an．(1)求a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．[解析](1)因为Sn＝n＋23an，且a1＝1，所以S2＝43a2，即a1＋a2＝43a2，得a2＝3．由S3＝53a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，得a3＝6．(2)由题意知a1＝1．当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝n＋23an－n＋13an－1，整理，得an＝n＋1n－1an－1，即anan－1＝n＋1n－1．所以a2a1＝3，a3a2＝42，a4a3＝53，…，anan－1＝n＋1n－1，将以上n－1个式子的两端分别相乘，得ana1＝nn＋12．所以an＝nn＋12(n≥2)．又a1＝1适合上式，故an＝nn＋12(n∈N*)．14．已知Sn为数列{an}的前n项和，且2Sn＝3an－2(n∈N*)．(1)求an和Sn．(2)若bn＝log3(Sn＋1)，求数列{b2n}的前n项和Tn．[解析](1)因为2Sn＝3an－2，所以当n＝1时，2S1＝3a1－2，解得a1＝2；当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－2，所以2Sn－2Sn－1＝3an－3an－1，所以2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1，因此数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以an＝2·3n－1，Sn＝21－3n1－3＝3n－1．(2)因为Sn＝3n－1，所以bn＝log3(Sn＋1)＝log33n＝n，b2n＝2n，所以Tn＝2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋2n2＝n2＋n．1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则a5的值为(A)A．－2B．－1C．1D．2[解析]由题意可得，an＋2＝an＋1－an，则a3＝a2－a1＝2－1＝1，a4＝a3－a2＝1－2＝－1，a5＝a4－a3＝－1－1＝－2.故选A．2．若数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，则a10＝(D)A．55B．10C．9D．1[解析]∵Sn＋Sm＝Sn＋m，∴令m＝1，n＝9，得S9＋S1＝S10，即S10－S9＝S1＝a1＝1，∴a10＝S10－S9＝1.故选D．3．数列{an}满足an＋1＝2an，0≤an12，2an－1，12≤an1，若a1＝25，则a2019等于(C)A．15B．25C．35D．45[解析]因为a1＝2512，所以a2＝45，a3＝35，a4＝15，a5＝25，所以数列具有周期性，周期为4，所以a2019＝a3＝25.故选C．4．已知数列{an}满足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，则ann的最小值为(D)A．21B．10C．172D．212[解析]由已知条件可知，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝33＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n2－n＋33．又n＝1时，a1＝33满足此式．所以ann＝n＋33n－1．令f(n)＝n＋33n－1，则f(n)在[1,5]上为减函数，在[6，＋∞)上为增函数，又f(5)＝535，f(6)＝212，则f(5)f(6)，故f(n)＝ann的最小值为212.故选D．5．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}是递减数列．[解析](1)f(log2an)＝2log2an－2－log2an＝an－1an所以an－1an＝－2n，所以a2n＋2nan－1＝0，解得an＝－n±n2＋1，因为an0，所以an＝n2＋1－n，n∈N*．(2)an＋1an＝n＋12＋1－n＋1n2＋1－n＝n2＋1＋nn＋12＋1＋n＋11，因为an0，所以an＋1an，所以数列{an}是递减数列．