函数的有理逼近

长沙学院CHANGSHAUNIVERSITY毕业论文资料论文题目：有理函数逼近及其应用系部：信息与计算科学专业：数学与应用数学学生姓名：徐芬芬班级：二班学号2008031224指导教师姓名：张作政职称讲师最终评定成绩长沙学院教务处二○一二年二月制目录第一部分毕业论文一、毕业论文第二部分过程管理资料一、毕业设计（论文）课题任务书二、本科毕业设计（论文）开题报告三、本科毕业设计（论文）中期报告四、毕业设计（论文）指导教师评阅表五、毕业设计（论文）评阅教师评阅表六、毕业设计（论文）答辩评审表（2012届）本科生毕业设计（论文）资料第一部分毕业论文（2012届）本科生毕业论文说明书有理函数的逼近及其应用系部：信息与计算科学专业：数学与应用数学学生姓名：徐芬芬班级：二班学号2008031224指导教师姓名：张作政职称讲师最终评定成绩2012年4月长沙学院本科生毕业论文有理函数逼近及其应用系（部）：信息与计算科学专业：数学与应用数学学号：2008031224学生姓名：徐芬芬指导教师：张作政讲师2012年4月长沙学院毕业设计(论文)I摘要有理函数逼近理论及其应用是逼近问题研究中的重要组成部分。本文介绍了有理函数逼近定义、构造及其相关知识，同时研究了有理函数插值的存在性与唯一性，介绍了几种常见的有理逼近。最主要的是对有理函数逼近的应用进行了研究。首先是利用倒插商和有理函数的唯一性求解数值优化问题，结果表明这种方法在求解数值优化问题时速度快，精度高。其次是基于Thiele连分式逼近，重新推导了Halley迭代公式。采用倒数可以被差商近似的办法，得到两个多初始点的迭代公式，从而避免了求导运算。关键词：函数，有理逼近，倒插商，有理插值长沙学院毕业设计(论文)IIABSTRACTTherationalfunctionapproximationtheoryanditsapplicationisapproximationtotheimportantcomponent.Thispaperintroducesthedefinition,arationalfunctionapproximationstructureanditsrelatedknowledge,andofarationalfunctiontheexistenceandtheuniquenessoftheinterpolation,introducesseveralcommonrationalapproximation.Themainisarationalfunctionapproximationtotheapplicationofresearch.FirstistouseInvertedplugManufacturersandtheuniquenessofarationalfunctionsolvingnumericaloptimizationproblem,andtheresultshowsthatthemethodinsolvingnumericaloptimizationproblemspeedandprecision.SecondisbasedonThieleevenfractionapproaching,anddeducedtheformulatoHalleyiteration.Thebottomcanbedifferencequotientapproximationmethod,getmorethantwoinitialpointiterativeformulasoastoavoidthederivationoperations.Keywords:function,rationalapproximation,InvertedplugManufacturers，rationalinterpolation长沙学院毕业设计(论文)III目录第一章绪论...........................................11.1有理逼近的研究背景.....................................................................................11.2有理逼近的研究目的及意义.........................................................................1第二章有理逼近相关知识介绍..............................42.1有理逼近的定义.............................................................................................42.2逼近函数的构造.............................................................................................52.3几种常见的有理逼近......................................................................................82.3.1Padé逼近.............................................................................................82.3.2Müntz有理逼近...................................................................................82.3.3最佳有理分式逼近..............................................................................8第三章有理插值函数的存在性及唯一性......................93.1有理插值问题的存在性...............................................................................103.2有理插值函数的唯一性...............................................................................11第四章有理函数逼近的应用................错误!未定义书签。4.1基于有理逼近的Halley迭代公式...............................错误!未定义书签。4.1.1预备知识..............................................................错误!未定义书签。4.1.2Halley迭代公式.................................................错误!未定义书签。4.2Padé逼近的有关应用....................................................错误!未定义书签。4.2.1计算散射问题时Padé逼近的应用.....................错误!未定义书签。4.2.2有理降阶模型在电磁问题中的应用..................错误!未定义书签。4.2.3Padé逼近在偏微分方程数值解中的应用.........错误!未定义书签。4.3有理逼近在合元极技术中的应用.................................错误!未定义书签。4.3.1预备知识..............................................................错误!未定义书签。4.3.2有理逼近在合元极技术应用中的数学表述......错误!未定义书签。4.3.3MBPE技术在合元极技术中的应用.....................错误!未定义书签。第五章结论............................................13参考文献................................................14致谢.................................................15长沙学院毕业设计(论文)1第一章绪论1.1有理逼近的研究背景及意义我们知道，在自然科学与技术科学领域中存在着大量的需要解决的非线性问题。原则上说，逼近问题中的参数的引述可以采用任何（线性或非线性）形式，甚至可以包含隐性参数。但是由于非线性问题的普遍性，很难将其概括成一般的理论。作为非线性逼近的一个重要特殊形式，有理函数逼近（即有理逼近）无论在实践还是在应用中都越来越受到人们的关注，因为有理函数仍属于简单函数类。它虽然比多项式要复杂，但用它来近似表示函数时却比多项式更灵活、有效，且更能反映被逼近函数的某些固有特征，如奇性、几何特征等。所以，近年来人们在数值与函数逼近问题以及计算机辅助几何设计的研究中取得了一系列深刻的结果。由于有理函数逼近的实现比多项式逼近的实现就运算复杂性而言要复杂的多，但随着高性能、大容量计算机的出现，使得过去难以实现的问题变为可能，所以关于有理逼近的理论研究和应用有着巨大的发展潜力。众所周知，有理逼近的目的是用较简单的函数来近似较复杂的函数，由于有理函数自身的特点，使它可以在极点附近取得很好的逼近效果。近年来，在这一方面的研究成果不断涌现，其中许多都是非常有意义的。例如In(1+x)有如（1-1）式的分式展开[1]。524221211)1(2222xxxxxxIn（1-1）取第n级渐近分式，即可得到In(1+x)的有理逼近式Rn(x)。一般地，Rn(x)是是In(1+x)的[n/n]Padé逼近,它的展开式将含有In(1+x)的Taylor展开式前2n项的和nT2(x)，并且Rn(x)与T2n(x)的独立参数个数相同。记R与T分别表示Rn(x)与nT2(x)的逼近误差，并取x=1。两种逼近的计算结果与误差对比如表1。表1In(1+x)的[n/n]Padé逼近与2n阶Taylor多项式逼近比较nRn(1)RS2n(1)T10.6670.2610-10.50.1920.692310.8410-30.580.1130.6931220.2510-40.6170.7610-140.693146420.7610-60.6340.5810--2由表1可知，R4(1)比T8(1)的精确度高几乎105倍。这就说明开展某些函数的有理逼近或一般非线性逼近问题的研究是十分必要的。正因为如此，最近三十多年来人们在数值逼近、函数近似表示、计算机辅助几何设计中中更偏向有理函数。随着科学技术的不断发展，有理逼近方法已在实际应用中显示出巨大的优势和开发潜力。1.2函数逼近和赋范空间1.2.1函数逼近与函数空间在数值计算中经常要计算函数值，如计算机上计算基本初等函数及其他特殊函数；当函数只在已知点集上给出函数值时，而需要用公式逼近点集所在的区间长沙学院毕业设计(论文)2上的函数。这些都涉及到用多项式、有理分式或分段多项式等便于在计算机上计算的简单函数逼近已给函数，使它达到精度要求而且计算量尽量小。这就是数值逼近研究的问题。数值逼近是数值计算中最基本的问题。为了在数学上描述更精确，下面先介绍一些基本概念及预备知识。数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。例如，在“线性代数”中将所有实n组成的，按向量加法及向量与数的乘法构成实数域上的线性空间记作nR，称为n维向量空间。类似地，对次数不超过n的实系数多项式全体，按通常