小学数学教材解读

解构·建构·重构以几节课例，谈有效教学设计杭州市求是教育集团马珏当前课堂教学主要问题：传统课堂占主体地位的局面没有根本性改变：——教师权威——师生关系单向，缺乏主动、缺乏动态生成，——被教会，而不是主动学会……背后：分数第一后果：“育”出的是以被动接受、适应、服从、执行他人思想与意志为基本生存方式的人。缺乏生存能力、缺乏健康的心智。对变化着的世界难于适应。为主动学而教：建构主义学习理论从本质上帮助我们理解“学”与“教”的含义。学习：教学：帮助学习者更有效地进行知识的建构。——学习是学生主动把新知与原有认知结构作实质性联系的自我建构过程；——每个学习者的认知结构、认知风格各不相同，学习是一个个性化的活动；——那些已经纳入认知结构的学习内容及其与现有的认知结构无法发生实质性联系的学习内容都不在最近发展区内，学习就无法发生。◆《真分数和假分数》是除法的基础◆《植树问题》◆《平均分》分数与除法的关系用除法解决问题◆《平均分》例1：认识“平均分”。本节内容是学生学习除法的开始。学生对于除法含义的认识是建立在“平均分”的基础上的，“平均分”的学习对后继学习至关重要。其实“除”就是“分”，“分”的方法有很多种，“平均分”是多种分法中的一种。除法学习的难点，关键就是理解“平均分”。◆《平均分》例2，内容重点是教学“平均分”的方法。用适合的方法去分橘子，充分体现分法的多样化。让学生充分经历“平均分”的过程并形成相应的表象，不但关注“分”的结果，“分”的过程，同时更加关注“分”的方法。◆《平均分》例3：呈现在现实生活中平均分的另外一种情况———包含分（连续的减法）。等分与包含的对比,两种情况的不同点是分的方法不同；相同点是最后呈现的结果是一样的：都是每份同样多。◆《平均分》在日常生活中平均分物时，结果包含两种情况：一种是恰好分完的情况，这时没有剩余（即余数为0），表内除法涉及的就是这样的内容；一种是平均分后还有剩余的情况（余数不为0），这是有余数的除法要研究的内容。◆《平均分》思考：1.从意义的角度出发：教材内容如何合理统整？对比两种划分2.从儿童的角度出发：教学组织如何打开窗口？引发三次讨论◆《平均分》等分和除法整合等分——用除法表示分的过程等分和包含分的整合分一分——画一画——写一写关注形式等分——包含分对比平均分不同情况——凸显平均分本质“每份同样多”关注内涵◆《平均分》唤起生活经验：什么是平均分？凸显概念本质：为什么都是平均分？丰富概念外延：平均分还有哪些情况？充分举例充分讨论充分对比◆《平均分》明确平均分的含义了解平均分的方法对比等分和包含分渗透平均分后有余紧扣内涵：每份同样多丰富外延：从过程和结果两个角度整体孕伏：表内除法和有余数除法◆《真分数和假分数》人教版教材：“真分数和假分数”是在学生学习了分数的意义、分数与除法的关系的基础上进行教学的。教材编排了两道结构相同的例题，即分别给出一组表示分数的图形，让学生观察、比较每个图形所表示的分数以及分子和分母的大小，再让学生想一想：“这些分数比1大，还是比1小？”在此基础上，分别概括出真分数和假分数的概念。◆《真分数和假分数》北师大版教材：编排在“分数与除法关系”之前。教材创设了“分饼”的情境活动，分成两个层次展开教学。第一个活动是“3张饼平均分给4个人”；第二个活动是“9张饼平均分给4个人”，可以引导学生1张1张分，也可以先分8张、再分1张，在此基础上揭示真分数、假分数的概念，再介绍带分数。◆《真分数和假分数》思考：1.从意义的角度出发：教材内容如何合理统整？观察比较还是经历过程？浅尝即止还是融会贯通？2.从儿童的角度出发：教学组织如何打开窗口？堵不如疏◆《真分数和假分数》“真分数和假分数”的教学是仅仅停留于观察比较分子和分母的大小，将分数分为真分数和假分数两类，还是需要把分数意义进行进一步拓展和延伸，让学生准确把握真分数和假分数的本质特征呢？答案无疑应该是后者。那么，为突破这一教学难点，教材提供了怎样的支持呢？◆《真分数和假分数》以“平均分”为抓手，沟通“分数与除法”，把“真分数与假分数”的概念与“分数与除法”内容进行整合，用除法算式表示平均分的过程，用分数表示平均分的结果，把分数单位作为生长点，在分数单位不断累加的过程中，让学生初步理解假分数，在“部总关系”基础上对分数的意义进行拓展。为以后分子大于100的百分数的学习打下基础。◆《真分数和假分数》如果课前让学生判断：5/4是不是分数？许多学生心存疑惑，甚至有学生认为不是分数，理由是：平均分成了4份，怎么可能取出5份呢？即使有部分学生认为是分数，当要求他们用自己的方式表示5/4的意义时，理解的程度就各不相同。一般分三种情况，大多数学生认为4份里取不出5份，就干脆什么也不画；第二种，画是画了，跳不出部总关系的框框，思路不清；第三种，思路清晰，但每个班只有极个别学生，甚至没有。能这样表示的学生，据访谈了解到，往往是利用课本或在课外辅导班进行了先前学习。◆《真分数和假分数》◆《真分数和假分数》质疑引发认知冲突经历假分数的产生发现分数除法关系辨析拓展数的体系直面起点：假分数是不是分数？整体打通：处理平均分、除法、分数的关系。关注生成：在辨析中加深理解◆《真分数和假分数》“假分数是分数吗？”课前访谈显示不少学生对此存在疑惑。由于分数意义教学的局限性，学生容易产生负迁移，认为：如5/4平均分成4份，怎么可以取出5份呢？这一认知冲突是教学中的一个难点，也是学生本节课学习的真实起点。因此，教学中要解决的核心问题应该是：如何让学生充分体验假分数的产生过程？从而深入理解假分数的意义。这样的意义建构，仅仅依靠教材上呈现的静态图，显然是远远不够的，必须借助直观的动态生成，让学生体验分数单位不断累加的过程，一开始累加的结果是真分数，累加到一定的程度就自然形成了假分数。借助具体的“分饼”情境，暴露学生的内在思维，在思辨中不断加深对假分数意义的理解：新授时，利用图形直观理解假分数的产生，分1个饼、2个饼、3个饼，4个饼，当到分5个饼时，5个就产生了假分数5/4，继续往下分，N个就是N/5，会产生更多的假分数；练习时，再次回到“分饼”情境，通过数形结合，让学生理解假分数如何用图正确表示意义；拓展时，可以借助“饼图”渗透假分数还可以写成带分数的形式。◆《真分数和假分数》人教版教材在编排上，将“真分数和假分数”的学习安排在“分数与除法关系”学习之后。这部分教学内容，涉及到的分数都是分子小于或等于分母的分数；接下来的“真分数和假分数”认识中，没有涉及“分数与除法关系”，两者似乎是脱离的。事实上，从意义的角度思考，除法算式表示了平均分的过程，分数则可以表示平均分的结果；这一结果根据所取份数的不同，可以是真分数，也完全有可能是假分数。将“分数与除法关系”放在“真分数和假分数”认识之前，平均分的结果仅仅只能表示成真分数，就不得不戛然而止，学生缺乏完整的认识。如果将“真分数和假分数”与“分数与除法关系”有机融合在一起：能不能借助“平均分”沟通“分数与除法关系”；同时，在用分数表示结果的过程中，自然引出分数的两大类——真分数和假分数呢？◆《真分数和假分数》◆《真分数和假分数》以往的教学设计中，将数轴放在课中作为练习，让学生用分数表示数轴上的点，发现学生错误率较高，主要因为数轴具有一定的抽象性，学生在数轴上很难找到单位“1”，当出现“1”后面的数时，就更加不知所措。虽然数轴对学生是难点，但是利用数轴能使学生更好的理解真分数和假分数的意义。因此，数轴要用，但是需要“滞后”。将数轴放在最后，从知识体系的角度来看，它首先是对所学知识的再提炼，完成了真分数、假分数的意义建构，在数轴上标出真分数和假分数，利用数轴的连续性丰富和完善分数的概念体系；它也是对今后学习知识的孕伏，在数轴上能直观的比较出真分数和假分数的大小，渗透假分数转化成带分数的方法。从能力培养的角度来看，“数轴”成为发展“数感”的载体，“找找5/4在哪里？”9/4呢？就是8/4多1/4，因此在2和3之间，巧妙渗透了“区间”的思想。◆《植树问题》人教版教材：两端都种：棵数=间隔数+1◆《植树问题》人教版教材：两端都不种：棵数=间隔数-1只种一端：棵数=间隔数◆《植树问题》人教版教材：环形道路上：棵数=间隔数◆《植树问题》思考：1.从意义的角度出发：教材内容如何合理统整？走出经典框架2.从儿童的角度出发：教学组织如何打开窗口？突破学习困难◆《植树问题》教材一直将“点数与段数”的关系作为一种模型加以呈现，教学设计不外乎两种思路，其一是以“两端都种”为基本模型重点展开学习，将“只种一端，两端不种”作为特殊情况处理；其二是三种情况同时呈现。但无论哪种思路都要引导学生构建三种不同的数量关系模型，即“棵数=间隔数+1，棵数=间隔数，棵数=间隔数-1”，并应用这些数量关系解决实际问题。在三类基本模型的基础上，还有很多变式。这也许就是与大纲配套的老教材一直把“植树问题”作为思考题的原因。“植树问题”真的有那么难教吗？◆《植树问题》道路长度（每隔5米种1棵）棵数算式数量关系15米43215÷5=3总数÷份数=每份数40米98740÷5=8100米212019100÷5=202000米4014003992000÷5=400……数学模型棵数=商+1棵数=商棵数=商-1一一对应的数学思想表1：“植树问题”列表◆《植树问题》如果将不同道路长度的三种种植情况记录在表格里，横向对比思考，有没有什么共同点？就能发现数量关系一样：“总数（道路长度）÷每份数（间隔长度）=份数（间隔数）”，即都是运用除法解决问题，这可以承接学生已有的学习经验。再纵向对比思考，数形结合，一一对应，发现：三种类型其实就是根据实际情况对“商”进行处理，因此，有时棵数是“商+1”，有时棵数是“商-1”，而有时候棵数就是“商”，这可以借助学生已有的生活经验。这为植树问题的教学带来新的启示：“植树问题”模型能否回归到学生熟悉的的“除法模型”呢？这样是不是更有利于学生建构和应用模型呢？◆《植树问题》学生学习的困难是：正确识别具体情境中什么相当于“树”？哪一种情况属于“两端都种”？哪种情况属于“只种一端”或“两端都不种”？而且还有一些学生把握不了生活与数学的距离，不能很好地把生活中的植树现象能“去情境”进行类化，建立数学模型。◆《植树问题》编题回忆除法解决问题讨论特殊除法解决问题归类发现商的处理规律列举正确判断应用模型凸显知识“联”：如何能无缝链接？安排材料“序”：两组材料的呈现把握应用“度”：正确识别是重点◆《植树问题》课的开始可以直接从“除法解决问题”切入，通过“对比”新旧问题的“同”和“不同”来凸显知识之间的关联。在引入环节，学生通过对比自己编的问题和老师编的问题，发现：这些问题的数量关系相同，都是“总数÷每份数=份数”，所以归根结底还是用除法解决问题；但问题的结果不同，原来的用除法解决问题商就是结果，而新的用除法解决问题，结果要根据实际情况“+1”或“-1”。就这样，在开始的引入环节中，成功唤起学生原有学习经验，为新知的学习埋下伏笔。◆《植树问题》一开始，我们按照教材呈现的序，先研究“植树问题”，再研究生活中的“排队问题”、“锯木头问题”等。但在实施中发现：由于“植树问题”是一个经过数学提炼的问题，学生认为生活中植树一般都是两端都种，想不到“只种一端”和“两端都不种”的情况，一开始就容易引起争议，不利于模型的建构。如何更好地让学习材料的“序”遵循学生学习的“序”？我们调换了学习材料呈现的顺序，将“排队问题”和“锯木头问题”先进行了讨论，这样学生借助原有的生活经验，很快就能得出锯木头的结果要“商-1”，排队伍的结果要“商+1”。再讨论教材上的“植树问题”，学生有了前面的学习经验，很自然就联想到“植树问题”可能有三种不同的情况，在沟通中逐步建构模型。◆《植树问题》作为“植树问题”的第一课时教学，在巩固应用环节要安排哪些内容呢？显然难以面面俱到。我们针对学生应用模型时的难点“无法正确识别模型”，在练习中拓展知识的广度，通过学生举例、教师举例，围绕“讲了什么事？属于那种类型”展开