2020版新高考二轮复习理科数学专题强化训练十四解析几何解析

专题强化训练(十四)解析几何一、选择题1．[2019·福建五校联考]已知m是3与12的等比中项，则圆锥曲线x2m＋y22＝1的离心率是()A．2B.63C.24D．2或63解析：因为m是3与12的等比中项，所以m2＝3×12＝36，解得m＝±6.若m＝－6，则曲线的方程为y22－x26＝1，该曲线是双曲线，其离心率e＝2＋62＝2；若m＝6，则曲线的方程为x26＋y22＝1，该曲线是椭圆，其离心率e＝6－26＝63.综上，所求离心率是2或63.故选D.答案：D2．[2019·南昌重点中学]已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1，l2，若E的一个焦点F关于l1的对称点F′在l2上，则双曲线E的离心率为()A.5B．2C.233D.52解析：∵双曲线E的一个焦点F关于l1的对称点F′在l2上，且双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点在x轴上，∴x轴和直线l2关于直线l1对称，又双曲线E的两条渐近线l1，l2关于x轴对称，∴ba＝tan60°＝3，∴双曲线E的离心率e＝1＋b2a2＝2，故选B.答案：B3．[2019·广东六校联考]已知直线l的倾斜角为45°，直线l与双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右两支分别交于M，N两点，且MF1，NF2都垂直于x轴(其中F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点)，则该双曲线的离心率为()A.3B.5C.5－1D.5＋12解析：根据题意及双曲线的对称性，可知直线l过坐标原点，|MF1|＝|NF2|.设点M(－c，y0)，则N(c，－y0)，c2a2－y20b2＝1，即|y0|＝c2－a2a.由直线l的倾斜角为45°，且|MF1|＝|NF2|＝|y0|，得|y0|＝c，即c2－a2a＝c，整理得c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，解得e＝5＋12或e＝1－52(舍去)，故选D.答案：D4．[2019·湖南四校调研]已知A，B，P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝3，则该双曲线的离心率为()A.2B.3C．2D．3解析：由双曲线的对称性知，点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x2，y2)，则x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，又kPA＝y2－y1x2－x1，kPB＝y2＋y1x2＋x1，所以kPA·kPB＝y22－y21x21－x22＝b2a2＝3，所以离心率e＝1＋b2a2＝2，故选C.答案：C5．[2019·洛阳统考]经过点(2,1)，且渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切的双曲线的标准方程为()A.x2113－y211＝1B.x22－y2＝1C.y2113－x211＝1D.y211－x2113＝1解析：通解：设双曲线的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得|k×0－2|k2＋1＝1，解得k＝±3.因为双曲线经过点(2,1)，所以双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，将点(2,1)代入可得4a2－1b2＝1，由4a2－1b2＝1ba＝3，得a2＝113b2＝11，故所求双曲线的方程为x2113－y211＝1.故选A.优解：设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn0)，将(2,1)代入方程可得，4m－n＝1①.双曲线的渐近线方程为y＝±mnx，圆x2＋(y－2)2＝1的圆心为(0,2)，半径为1，由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切，可得21＋mn＝1，即mn＝3②，由①②可得m＝311，n＝111，所以该双曲线的方程为x2113－y211＝1，故选A.答案：A6．[2019·郑州质量预测一]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±13x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2＋(y＋6)2＝1上一点，则|MN|＋|MF2|的最小值为()A．8B．9C．10D．11解析：由题意，知2a＝6，a＝3，又由ba＝13，得b＝1，所以c＝a2＋b2＝10，则F1(－10，0)．根据双曲线的定义知|MF2|＝2a＋|MF1|＝|MF1|＋6，所以|MN|＋|MF2|＝|MN|＋|MF1|＋6＝|EN|＋|MN|＋|MF1|＋5≥|F1E|＋5＝102＋－62＋5＝9，故选B.答案：B7．[2019·安徽示范高中]已知F1，F2是双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，点M在双曲线E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝14，则双曲线E的离心率为()A.153B.32C.132D．2解析：由题意知F1(－c,0)，因为MF1与x轴垂直，且M在双曲线上，所以|MF1|＝b2a.在Rt△MF2F1中，sin∠MF2F1＝14，所以tan∠MF2F1＝|MF1||F1F2|＝115，即b2a2c＝b22ac＝115，又b2＝c2－a2，所以15c2－15a2－2ac＝0，两边同时除以a2，得15e2－2e－15＝0，又e1，所以e＝153.答案：A8．[2019·唐山摸底]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)和双曲线E：x2－y2＝1有相同的焦点F1，F2，且离心率之积为1，P为两曲线的一个交点，则△F1PF2的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析：由题意可知，ca×2＝1⇒c＝22a，因为c＝2，所以a＝2，b2＝a2－c2＝2，不妨设P与F2在y轴右侧，则|PF1|＋|PF2|＝4|PF1|－|PF2|＝2，得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2，所以△F1PF2为直角三角形，故选B.答案：B9．[2019·武昌调研]已知M为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右支上一点，A，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，线段FA的垂直平分线过点M，∠MFA＝60°，则C的离心率为()A．6B．4C．3D．2解析：如图，设双曲线C的左焦点为F1，连接MF1，由题意知|MF|＝|AF|＝a＋c，|MF1|＝3a＋c，在△MF1F中，由余弦定理得|MF1|2＝|F1F|2＋|MF|2－2|F1F||MF|cos60°，所以(3a＋c)2＝(2c)2＋(a＋c)2－2×2c(a＋c)×12，整理得4a2＋3ac－c2＝0，因为e＝ca，所以e2－3e－4＝0，因为e＞1，所以e＝4，故选B.答案：B10．[2019·合肥调研]已知双曲线M：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线M的标准方程是()A.x23－y2＝1或x24－y212＝1B.x23－y2＝1或x2－y23＝1C.x212－y24＝1或x2－y23＝1D.x212－y24＝1或x24－y212＝1解析：依题意，a2＋b2＝4，因为两条渐近线的夹角为60°，所以渐近线的倾斜角为30°与150°或60°与120°，当倾斜角为30°与150°时，可知ba＝33，所以a＝3b＝1；当倾斜角为60°与120°时，ba＝3，所以a＝1b＝3，所以双曲线的标准方程为x23－y2＝1或x2－y23＝1.故选B.答案：B11．[2019·惠州调研]已知F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，A和B是以坐标原点O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为()A.3＋12B.3－1C.3＋1D．2解析：由题意知|F1F2|＝2c，∵△ABF2是等边三角形，∴∠AF2F1＝30°，连接AF1，则|AF1|＝c，|AF2|＝3c，∴a＝3c－c2，∴e＝ca＝3＋1.故选C.答案：C12．[2019·南昌重点中学]设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E(0，t)(0tb)．已知动点P在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为4b，则椭圆C的离心率为()A.32B.22C.12D.33解析：连接EF1，PF1，则|EF1|＝|EF2|，所以△PEF2的周长l＝|PE|＋|EF2|＋|PF2|＝|PE|＋|EF1|＋|PF2|，因为|PE|＋|EF1|≥|PF1|，所以△PEF2的周长l≥|PF1|＋|PF2|，因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以l≥2a，因为△PEF2的周长的最小值为4b，所以2a＝4b，即a＝2b，所以c2＝a2－b2＝3b2，所以c＝3b，所以椭圆C的离心率e＝ca＝32，故选A.答案：A13．[2019·山西八校联考]已知F1，F2分别是双曲线x2－y2b2＝1(b0)的左、右焦点，点P为双曲线右支上的一点，满足(OP→＋OF→2)·F2P→＝0(O为坐标原点)，且cos∠PF1F2＝255，则该双曲线的离心率为()A.3B．2C．3D.5解析：解法一：由(OP→＋OF2→)·F2P→＝0，得|OP|＝|OF2|，∴在△PF1F2中，OP是边F1F2上的中线，且|OP|＝12|F1F2|，∴∠F1PF2＝90°.由x2－y2b2＝1，得a＝1，c＝1＋b2，在Rt△PF1F2中，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|PF1|2＋|PF2|2＝2c2＝41＋b2，得|PF1|＝1＋2b2＋1，|PF2|＝1＋2b2－1.在Rt△PF1F2中，cos∠PF1F2＝|PF1||F1F2|＝1＋2b2＋12c＝1＋2b2＋121＋b2＝255，整理得9b4－32b2－16＝0，∴b2＝4，离心率e＝ca＝1＋b2＝5.故选D.解法二：由(OP→＋OF2→)·F2P→＝0，得|OP|＝|OF2|，∴在△PF1F2中，OP是边F1F2上的中线，且|OP|＝12|F1F2|，∴∠F1PF2＝90°.在Rt△PF1F2中，由cos∠PF1F2＝255，得|PF1||F1F2|＝|PF1|2c＝255，∴|PF1|＝455c，|PF2|＝|F1F2|2－|PF1|2＝255c.由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝455c－255c＝255c＝2a，∴离心率e＝ca＝5.故选D.答案：D14．[2019·福建五校联考]已知以圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x2＝8y上任意一点，BM与直线y＝－2垂直，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为()A．1B．2C．－1D．8解析：易知抛物线C1的焦点为(1,0)，所以抛物线C1的方程为y2＝4x.由y2＝4xx－12＋y2＝4及点A位于第一象限可得点A(1,2)．因为抛物线C2：x2＝8y的焦点F(0,2)，准线方程为y＝－2，所以由抛物线的定义得|BM|＝|BF|.如图，在平面直角坐标系中画出抛物线C2及相应的图形，可得|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|(当且仅当A，B，F三点共线，且点B在第一象限时，不等式取等号)．故所求最大值为|AF|＝1，故选A.答案：A15．[2019·湖北重点中学]如图，已知A，B，C是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过双曲线的右焦点F，若BF⊥AC，且2|AF|＝|CF|，则该双曲线的离心率是()A.53B.173C.172D.94解析：设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′，CF′，则由|OA|＝|OB|，|OF|＝|OF′|，BF⊥AC知四边形AFBF′为矩形，设|AF|＝m，则|AF′|＝m＋2a，|AC|＝|AF|＋2|AF|＝3|AF|＝3m，|FC|＝2|AF|＝2m，则|F′C|＝|FC|＋2a＝2