通用版2020版高考数学大二轮复习专题突破练17空间中的平行与空间角理

专题突破练17空间中的平行与空间角1.(2019山东潍坊三模,理18)如图,一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O,G,H分别是AE,BC的中点,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,且DC⊥平面ABC.(1)证明:GH∥平面ACD;(2)若AC=BC=BE=2,求二面角O-CE-B的余弦值.2.(2019新疆乌鲁木齐二模,理18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°,PD=4,M为PD的中点,E为AM的中点,点F在线段PB上,且PF=3FB.(1)求证:EF∥平面ABCD;(2)若平面PDC⊥底面ABCD,且PD⊥DC,求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.3.(2019湖北八校联考一,理18)如图所示,四棱锥P-ABCD中,面PAD⊥面ABCD,PA=PD=√,四边形ABCD为等腰梯形,BC∥AD,BC=CD=AD=1,E为PA的中点.(1)求证:EB∥平面PCD.(2)求平面PAD与平面PCD所成的二面角θ的正弦值.4.(2019安徽“江南十校”二模,理18)已知多面体ABC-DEF,四边形BCDE为矩形,△ADE与△BCF为边长为2√的等边三角形,AB=AC=CD=DF=EF=2.(1)证明:平面ADE∥平面BCF;(2)求BD与平面BCF所成角的正弦值.5.(2019四川宜宾二模,理19)如图,四边形ABCD是菱形,EA⊥平面ABCD,EF∥AC,CF∥平面BDE,G是AB中点.(1)求证:EG∥平面BCF;(2)若AE=AB,∠BAD=60°,求二面角A-BE-D的余弦值.6.如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.(1)证明:直线CE∥平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.7.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=√,求三棱锥E-ACD的体积.8.(2019河北衡水同卷联考,理18)如图,在多面体ABCDFE中,四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,四边形ABEF是直角梯形,∠FAB=90°,AF∥BE,AF=AB=2BE=2.(1)证明:CE∥平面ADF;(2)若平面ABCD⊥平面ABEF,H为DF的中点,求平面ACH与平面ABEF所成锐二面角的余弦值.参考答案专题突破练17空间中的平行与空间角1.(1)证明连接GO,OH,∵GO∥CD,OH∥AC,∴GO∥平面ACD,OH∥平面ACD,又GO交HO于点O,∴平面GOH∥平面ACD,∴GH∥平面ACD.(2)解以C为原点,CB为x轴,CA为y轴,CD为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2).平面BCE的法向量m=(0,1,0),设平面OCE的法向量n=(x0,y0,z0).⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,2),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,0).{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0,则{000,000令x0=-1,∴n=(-1,1,1).∵二面角O-CE-B是锐二面角,记为θ,∴cosθ=|cosm,n|=||||||√√2.(1)证明取MD的中点N,连接EN,FN.∵E为AM的中点,∴EN∥AD.又M为PD的中点,N为MD的中点,∴PN=3ND.∵PF=3FB,∴FN∥BD.∵EN∩FN=N,AD∩BD=D,∴平面ENF∥平面ABCD,∵EF⊂平面ENF,∴EF∥平面ABCD.(2)解∵平面PDC⊥平面ABCD,PD⊥DC,∴PD⊥平面ABCD.设AB的中点为G,以D为坐标原点,DG为x轴,DC为y轴,DP为z轴,建立空间直角坐标系,则B(√,1,0),C(0,2,0),P(0,0,4),则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-√,1,0),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,-2,4),设平面PBC的法向量n=(x,y,z),则{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-√0,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-40,取x=2,得n=(2,2√√),同理得平面PAD的法向量m=(√,3,0),设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为θ,则cosθ=||||||4√99,∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为4√993.(1)证明取AD的中点O,连接EO,OB.∵E为PA的中点,O为AD的中点,∴OE∥PD.又∵BC∥AD,BC=AD,∴四边形BCDO是平行四边形,∴BO∥CD.∵OE∥PD,BO∥CD,OE和BO是平面EBO内的两条交线,∴平面EBO∥平面PCD.又BE⊂平面PCD,∴BE∥平面PCD.(2)解取BC的中点M,以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向为正方向建立如图所示的空间直角系O-xyz.则P(0,0,1),A(0,-1,0),D(0,1,0),C√,0,则平面PCD的一个法向量为n1=(1,0,0),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,-1),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-√,0.设平面PDC的一个法向量为n2=(x,y,z),则{-0,-√0不妨令x=1,则y=√,z=1,n2=(1,√√),∴|cosθ|=|cosn1,n2|=√,则sinθ=√44.(1)证明取BC,DE中点分别为O,O1,连接OA,O1A,OF,O1F.由AB=AC=CD=DF=EF=2,BC=DE=CF=AE=AD=BF=2√,可知△ABC,△DEF为等腰直角三角形,故OA⊥BC,O1F⊥DE,CD⊥DE,CD⊥DF,故CD⊥平面DEF,平面BCDE⊥平面DEF,所以O1F⊥平面BCDE.同理OA⊥平面BCDE,所以O1F∥OA,而O1F=OA,故四边形AOFO1为平行四边形,所以AO1∥OF,所以AO1∥平面BCF,又BC∥DE,故DE∥平面BCF,而AO1∩DE=O1,所以平面ADE∥平面BCF.(2)解以O为坐标原点,以过O且平行于AC的直线作为x轴,平行于AB的直线作为y轴,OO1为z轴建立空间直角坐标系如图.则有B(1,1,0),C(-1,-1,0),D(-1,-1,2),F(-1,1,2),故⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,-2,2),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,-2,0),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,0,2).设平面BCF的法向量为n=(x,y,z),由⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗n,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗n得{--0,-0,取x=1得y=-1,z=1,故平面BCF的一个法向量为n=(1,-1,1).设BD与平面BCF所成角为θ,则sinθ=|cos⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,n|=|---√√|故BD与平面BCF所成角的正弦值为5.(1)证明设AC∩BD=O,连接OE,OF.∵四边形ABCD是菱形,EA⊥平面ABCD,EF∥AC,CF∥平面BDE,∴OE∥CF,∴EF=AO=CO,∴OF⊥平面ABCD.设OA=a,OB=b,AE=c,以O为原点,OA,OB,OF所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则E(a,0,c),G,0,B(0,b,0),C(-a,0,0),F(0,0,c).⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,b,-c),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-a,0,-c),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-,-,-c,设平面BCF的法向量为n=(x,y,z),则{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-0,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗--0,取z=b,得n=-,c,b,∵n⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=--+c+(-c)b=0,∴EG∥平面BCF.(2)解设AE=AB=2,∵∠BAD=60°,∴OB=1,OA=√,∴A(√,0,0),B(0,1,0),E(√,0,2),D(0,-1,0),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√,-1,2),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√,-1,0),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,-2,0).设平面ABE的法向量n=(x,y,z),则{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗√-0,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗√-0,取x=1,得n=(1,√,0),设平面BDE的法向量m=(x,y,z),则{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗√-0,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-0,取x=2,得m=(2,0,-√),设二面角A-BE-D的平面角为θ,则cosθ=||||||√4√√∴二面角A-BE-D的余弦值为√6.(1)证明取PA的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF=AD.由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,又BC=AD,所以EFBC,四边形BCEF是平行四边形,CE∥BF,又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB.(2)解由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的方向为x轴正方向,|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,√),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,-√),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,0).设M(x,y,z)(0x1),则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x-1,y,z),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x,y-1,z-√).因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,n|=sin45°,||√-√,即(x-1)2+y2-z2=0.①又M在棱PC上,设⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则x=λ,y=1,z=√√②由①②解得{√,,-√6(舍去),{-√,,√6,所以M(-√,,√6),从而⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(-√,,√6)设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0,即{-√00√600,00,所以可取m=(0,-√6,2).于是cosm,n=||||√05因此二面角M-AB-D的余弦值为√057.(1)证明连接BD交AC于点O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)解因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的方向为x轴的正方向,|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,则D(0,√,0),E(0,√,)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(0,√,)设B(m,0,0)(m0),则C(m,√,0),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(m,√,0),设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0,即{√0,√0,可取n1=(√,-,√)又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,由题设|cosn1,n2|=,即√4,解得m=因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为三棱锥E-ACD的体积V=√√8.(1)证明(方法一)因为四边形ABCD是菱形,所以AD∥BC.又因为AF∥BE,AF∩AD=A,BC∩BE=B,所以平面ADF∥平面BCE.因为CE⊂平面BCE,所以CE∥平面ADF.(方法二)取AF的中点M,连接DM,EM,如图.由题意知AM=BE且AM∥BE,所以四边形ABEM为平行四边形,即ME=AB且ME∥AB.又因为四边形ABCD是菱形,所以四边形DCEM为平行四边形,即有DM∥CE.又DM⊂平面ADF,CE⊄平面ADF,所以CE∥平面ADF.(2)解取CD的中点N,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,可得AN⊥CD.因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AF⊂平面ABEF,AF⊥AB,所以AF⊥平面ABCD.以A为坐标原点,以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.故A(0,0,0),C(√,1,0),D(√,-1,0),F(0,0,2),H√