a动量和动量定理

动量和动量定理吕叔湘中学庞留根2004年9月一.动量和冲量1.动量：定义——动量p=mv⑴动量是描述物体运动状态的一个状态量，它与时刻相对应。⑵动量是矢量，它的方向和速度的方向相同。2.冲量：定义——恒力的冲量I=Ft⑴冲量是描述力的时间积累效应的物理量，是过程量，它与时间相对应⑵冲量是矢量，它的方向由力的方向决定（不能说和力的方向相同）。如果力的方向在作用时间内保持不变，那么冲量的方向就和力的方向相同。⑶对于变力的冲量，高中阶段只能用动量定理求。⑷要注意的是：冲量和功不同。恒力在一段时间内可能不作功，但一定有冲量。二、动量定理1.动量定理：物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化即I=Δp∑F·Δt=mv′-mv=Δp⑴动量定理表明冲量是使物体动量发生变化的原因，冲量是物体动量变化的量度。这里所说的冲量必须是物体所受的合外力的冲量。⑵动量定理给出了冲量（过程量）和动量变化（状态量）间的互求关系。⑶实际上现代物理学把力定义为物体动量的变化率：∑F=Δp／Δt（这也是牛顿第二定律的动量形式）⑷动量定理的表达式是矢量式。在一维的情况下，各个矢量必须以同一个规定的方向为正。2.动量定理具有以下特点：①矢量性：合外力的冲量∑F·Δt与动量的变化量Δｐ均为矢量，规定正方向后，在一条直线上矢量运算变为代数运算；②相等性：物体在时间Δｔ内物体所受合外力的冲量等于物体在这段时间Δｔ内动量的变化量；因而可以互求。③独立性：某方向的冲量只改变该方向上物体的动量；④广泛性：动量定理不仅适用于恒力，而且也适用于随时间而变化的力．对于变力，动量定理中的力F应理解为变力在作用时间内的平均值；不仅适用于单个物体，而且也适用于物体系统。⑤物理意义：冲量反映力对物体在一段时间上的积累作用，动量反映了物体的运动状态。3.利用动量定理解题的步骤：⑴明确研究对象和研究过程。研究对象可以是一个物体，也可以是质点组。如果研究过程中的各个阶段物体的受力情况不同，要分别计算它们的冲量，并求它们的矢量和。⑵进行受力分析。研究对象以外的物体施给研究对象的力为外力。所有外力之和为合外力。研究对象内部的相互作用力不影响系统的总动量，不包括在内。⑶规定正方向。由于力、冲量、速度、动量都是矢量，所以列式前要先规定一个正方向，和这个方向一致的矢量为正，反之为负。⑷写出研究对象的初、末动量和合外力的冲量（或各个外力的冲量的矢量和）。⑸根据动量定理列式求解。以初速度v0平抛一个质量为m的物体，t秒内物体的动量变化是多少？例1解：因为合外力就是重力，所以Δp=Ft=mgt本题用冲量求解，比先求末动量，再求初、末动量的矢量差要方便得多。因此可以得出规律：I和Δp可以互求。当合外力为恒力时往往用Ft来求；当合外力为变力时，在高中阶段我们只能用Δp来求。例2一质点在水平面内以速度v做匀速圆周运动，如图，质点从位置A开始，经1/2圆周，质点所受合力的冲量是多少?vAABvBO解:质点做匀速圆周运动，合力是一个大小不变、但方向不断变化的力，注意:变力的冲量一般不能直接由F·Δt求出，可借助ΣF·Δt＝Δp间接求出，即合外力力的冲量由末动量与初动量的矢量差来决定．以vB方向为正，因为vA＝-v，vB＝v，则Δp＝ｍvB-ｍvA＝ｍ［v-（-v）］＝2ｍv，合力冲量与vB同向．例3、关于冲量、动量及动量变化，下列说法正确的是：（）A.冲量方向一定和动量变化的方向相同B.冲量的大小一定和动量变化的大小相同C.动量的方向改变，冲量方向一定改变D.动量的大小不变，冲量一定为0.AB水平面上一质量为m的物体，在水平恒力F作用下，由静止开始做匀加速直线运动，经时间t后撤去外力，又经过时间2t物体停下来，设物体所受阻力为恒量，其大小为（）Ａ．FＢ．F/2Ｃ．F/3Ｄ．F/4解：整个过程的受力如图所示，Ff2ttf对整个过程，根据动量定理，设F方向为正方向，有(F–f)×t–f×2t=0得f=F/3C例4F1t2t1tFF20解:从图中可知，物体所受冲量为F-t图线下面包围的“面积”，设末速度为v′，根据动量定理ΣF·Δt＝Δp，有F1t1+F2(t2-t1)=mv′-0∴v′=[F1t1+F2(t2-t1)]／m例5.如图表示物体所受作用力随时间变化的图象，若物体初速度为零，质量为m，求物体在t2时刻的末速度?如图所示，在光滑水平面上有两个滑块，以相同大小的动量相向运动。在滑块甲上水平固定一只弹簧，滑块甲总质量为m，滑块乙质量为2m。两滑块相遇时，乙与弹簧自由端正碰，然后在弹力作用下又分开，那么（）（A）分开后两滑块动能相等，动量大小不等（B）分开后两滑块动能不等，动量大小相等（C）碰撞前与分开后两滑块总动能守恒，总动量不守恒（D）碰撞前与分开后两滑块总动能不守恒，总动量守恒（E）碰撞前与分开后，两滑块总动能守恒，总动量也守恒2mm乙甲BE例6在光滑水平面上水平固定放置一端固定的轻质弹簧，质量为m的小球沿弹簧所位于的直线方向以速度V运动，并和弹簧发生碰撞，小球和弹簧作用后又以相同的速度反弹回去。在球和弹簧相互作用过程中，弹簧对小球的冲量I的大小和弹簧对小球所做的功W分别为（）（A）I＝0、W＝mv2（B）I＝2mv、W=0（C）I＝mv、W=mv2／2（D）I＝2mv、W=mv2／2B例7下列哪些论断是正确的？()(A)某力F对物体没有做功，此力F对物体的冲量必为零；(B)如果物体的动能没有发生变化，此物体的动量也不可能发生变化；(C)静摩擦力可能做正功，也可能做负功，但滑动摩擦力只能做负功；(D)静摩擦力和滑动摩擦力都可能做正功，也都可能做负功.注意：冲量和功不同。恒力在一段时间内可能不作功，但一定有冲量。D例8摆长为L的单摆的最大摆角θ小于50，摆球质量为m，摆球从最大位移处运动到平衡位置的过程中（）（A）重力的冲量为（B）合外力的冲量为（C）合外力的冲量为零（D）拉力的冲量为零gLmπ21)cos2gL(1m例9θL解：单摆的周期为gLT2t=1/4·TgLπm1/2mgT1/4IG)cos1(20gLmmvI合AB质量为m的小球由高为H的光滑斜面顶端无初速滑到底端过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大？例10.Hαm解：力的作用时间相同，可由下式求出22/1sin/sinatHgagHt2sin1三力的大小依次是mg、mgcosα和mgsinα，所以它们的冲量依次是：gHmIgHmIgHmING2tan2sin2合物体A和B用轻绳相连挂在轻弹簧下静止不动，如图（a）所示。A的质量为m，B的质量为M，将连接A、B的绳烧断后，物体A上升经某一位置时的速度大小为v，这时物体B的下落速度大小为u，如图（b）所示，在这段时间里，弹簧弹力对物体A的冲量等于（）(A)mv(B)mv－Mu(C)mv＋Mu(D)mv＋muABmM(a)BAuv(b)解：对B物，由动量定理Mgt=Mu∴gt=u对A物，由动量定理IF–mgt=mv∴IF=mgt+mv=mu+mvD例11质量为m1的气球下端用细绳吊一质量为m2的物体，由某一高处从静止开始以加速度a下降，经时间t1绳断开，气球与物体分开，再经时间t2气球速度为零（不计空气阻力），求此时物体m2的速度是多大?例12解:画出运动过程示意图：m1m2t1断绳处at2v2=0v′本题可用牛顿第二定律求解，但过程繁琐，用动量定理可使解题过程大大简化．以(m1+m2)物体系为研究对象，分析受力，(m1+m2)gF浮细绳断开前后整体所受合外力为:ΣF＝(m1+m2)a一直不变，对系统(m1+m2)用动量定理:(m1+m2)at1+(m1+m2)at2=m2v′-0v′＝(m1+m2)(t1+t2)a/m2方向竖直向下．质量为M的汽车带着质量为m的拖车在平直公路上以加速度a匀加速前进，当速度为v0时发生脱钩，直到拖车停下瞬间司机才发现。若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的即时速度是多大？例13Mmv0解：以汽车和拖车系统为研究对象，全过程系统受的合外力为F合=F-f=(M+m)a，Ffv′v=0该过程经历时间为t=v0/μg，末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定理可得：00vmMvMgvm)a(M0))((vMggamMv（14分）一质量为m的小球，以初速度v0沿水平方向射出，恰好垂直地射到一倾角为30°的固定斜面上，并立即反方向弹回。已知反弹速度的大小是入射速度大小的3/4，求在碰撞中斜面对小球的冲量大小04年广东14解：小球在碰撞斜面前做平抛运动.设刚要碰撞斜面时小球速度为v.由题意，v的方向与竖直线的夹角为30°，且水平分量仍为v0，如右图.v030°v0v30°由此得v=2v0①碰撞过程中，小球速度由v变为反向的3v/4,碰撞时间极短，可不计重力的冲量，由动量定理，斜面对小球的冲量为②mvv)43m(I由①、②得0mv27I04年天津21如图所示，光滑水平面上有大小相同的A、B两球在同一直线上运动.两球质量关系为mB=2mA，规定向右为正方向,A、B两球的动量均为6kgm/s，运动中两球发生碰撞,碰撞后A球的动量增量为–4kgm/s，则（）A．左方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为2:5B．左方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为1:10C．右方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为2:5D．右方是A球,碰撞后A、B两球速度大小之比为1:10解:由动量守恒定律ΔpA=-4kgm/s,ΔpB=4kgm/spA′=2kgm/s,pB′=10kgm/sv′=p′/mvA′/vB′=mBpA′／mApB′=2:5若右方是A球，原来A球动量向右，被B球向右碰撞后的动量增量不可能为负值A（18分）质量m=1.5kg的物块（可视为质点）在水平恒力F作用下，从水平面上A点由静止开始运动，运动一段距离撤去该力，物块继续滑行t=2.0s停在B点，已知A、B两点间的距离s=5.0m，物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.20，求恒力F多大。(g=10m/s2)04年天津24解:设撤去力F前物块的位移为s1，撤去力F时物块速度为v，物块受到的滑动摩擦力f=μmg(如图示)ABffFStS1对撤去力F后物块的滑动过程应用动量定理得-ft=0-mvv=4m/s由运动学公式得4mt2vtvss1s1=1m对物块运动的全过程应用动能定理Fs1-fs=0由以上各式得2gtμ2smgs2μF代入数据解得F=15N如图，传送带以1m/s的速度匀速前进，传送带上方的煤斗送煤流量为50kg/s，那么传送带的功率应为多少？例14解：煤斗的送煤量为50kg/s，若煤在传送带上无堆积，传送带必须在1秒钟内使50kg的煤达到与传送带相同的速度。若用动能定理求解，并认为传送带每秒做的功恰等于煤增加的动能，则有W=ΔEK=1/2mv2=1/2×50×1=25J由此得出传送带的功率为P=W/t=25W这种解法是错误的正解：若用动量定理，则有Ft=Dp取t=1秒，由上式得F=Dp/t=mv/t=mv所以传送带功率P=Fv=mv2=50瓦前者错误原因是忽略了传送带与煤之间在初始阶段有相对位移。传送带所做的功并非全部用来增加煤的动能。其中有一部分摩擦力做功转化为煤和传送带的内能。其产生的内能为Q=f·Ds，式中Ds表示煤块与传送带间的相对位移。v