用基本不等式求最值的常见类型及解题方法

-1-用基本不等式求最值的类型及方法均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。一、几个重要的均值不等式①，、)(222222Rbabaababba当且仅当a=b时，“=”号成立；②，、)(222Rbabaababba当且仅当a=b时，“=”号成立；③，、、)(33333333Rcbacbaabcabccba当且仅当a=b=c时,“=”号成立；④)(3333Rcbacbaabcabccba、、,当且仅当a=b=c时,“=”号成立.注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；②熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。二、函数()(0)bfxaxabx、图象及性质(1)函数0)(baxbaxxf、图象如图：(2)函数0)(baxbaxxf、性质：①值域：),2[]2,(abab；②单调递增区间：(,]ba，[,)ba；单调递减区间：(0,]ba，[,0)ba.三、用均值不等式求最值的常见类型类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。例1、已知54x，求函数14245yxx的最大值。练习（1）231,(0)xxyxx（2）12,33yxxx(3)12sin,(0,)sinyxxxxabab2ab2aboy-2-类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。例2、当时，求(82)yxx的最大值。练习①23(32)(0)2yxxx类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。例3、若x、yR，求4()fxxx)10(x的最小值。类型Ⅳ：条件最值问题。例4、已知正数x、y满足811xy，求2xy的最小值。类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例5、已知正数xy、满足3xyxy，试求xy、xy的范围。类型条件求最值例6、若实数满足2ba，则ba33的最小值是练习1、若44loglog2xy，求11xy的最小值.并求x,y的值2、已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。-3-四、均值不等式易错例析：例1.求函数yxxx49的最值。例2.当x0时，求yxx492的最小值。例3.求yxxxR2254()的最小值。例4.已知Ryx,且141yx，求yxu的最小值.综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。