离散数学课后习题答案(焦占亚版)

第1章习题解答1习题1.11.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。⑴中国有四大发明。⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。⑷21+3＜5。⑸老王是山东人或河北人。⑹2与3都是偶数。⑺小李在宿舍里。⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以。⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。2.将下列复合命题分成若干原子命题。⑴李辛与李末是兄弟。⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。⑶天正在下雨或湿度很高。⑷刘英与李进上山。⑸王强与刘威都学过法语。⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。3.将下列命题符号化。⑴他一面吃饭，一面听音乐。⑵3是素数或2是素数。第1章习题解答2⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：p→q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。⑺p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：p∧q→r4.将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。⑴如果3+3=6，则雪是白的。⑵如果3+3≠6，则雪是白的。⑶如果3+3=6，则雪不是白的。⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。(假定是10进制)⑺若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。解：设p：3＋3＝6。q：雪是白的。⑴原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。⑵原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。⑶原命题符号化为：p→q；该命题是假命题。⑷原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。⑸p：3是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：p↔q；该命题是假命题。⑹p：2+3＝5；q：3是无理数；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。⑺p：两圆O1,O2的面积相等；q：两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。⑻p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：p↔q；该命题是真命题。第1章习题解答3习题1.21.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。⑴(p∧q→r)⑵(p∧(q→r)⑶((p→q)↔(r∨s))⑷(p∧q→rs)⑸((p→(q→r))→((q→p)↔q∨r))。解：⑴⑶⑸是合式公式；⑵⑷不是合式公式。2.设p：天下雪。q：我将进城。r：我有时间。将下列命题符号化。⑴天没有下雪，我也没有进城。⑵如果我有时间，我将进城。⑶如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。解：⑴p∧q⑵r→q⑶p∧r→q3.设p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。⑴r∧q⑵¬(r∨q)⑶q↔(r∧¬p)⑷(q→r)∧(r→q)解：⑴我有时间并且我将进城。⑵我没有时间并且我也没有进城。⑶我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。⑷如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。4.试把原子命题表示为p、q、r等，将下列命题符号化。⑴或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。⑵如果张三和李四都不去，他就去。⑶我们不能既划船又跑步。⑷如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。解：⑴p：你给我写信；q：信在途中丢失；原命题符号化为：(p∧q)∨(p∧q)。⑵p：张三去；q：李四去；r：他去；原命题符号化为：p∧q→r。⑶p：我们划船；q：我们跑步；原命题符号化为：（p∧q）。⑷p：你来了；q：他唱歌；r：你伴奏；原命题符号化为：p→（q↔r）。5.用符号形式写出下列命题。第1章习题解答4⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。⑵我今天进城，除非下雨。⑶仅当你走，我将留下。解：⑴p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符号化为：（p→q）∧（p→r∨s）。⑵p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：q→p。⑶p：你走；q：我留下；原命题符号化为：q→p。第1章习题解答5习题1.31.设A、B、C是任意命题公式，证明：⑴AA⑵若AB，则BA⑶若AB，BC，则AC证明：⑴由双条件的定义可知A↔A是一个永真式，由等价式的定义可知AA成立。⑵因为AB，由等价的定义可知A↔B是一个永真式，再由双条件的定义可知B↔A也是一个永真式，所以，BA成立。⑶对A、B、C的任一赋值，因为AB，则A↔B是永真式，即A与B具有相同的真值，又因为BC，则B↔C是永真式，即B与C也具有相同的真值，所以A与C也具有相同的真值；即AC成立。2.设A、B、C是任意命题公式，⑴若A∨CB∨C,AB一定成立吗？⑵若A∧CB∧C,AB一定成立吗？⑶若¬A¬B，AB一定成立吗？解：⑴不一定有AB。若A为真，B为假，C为真，则A∨CB∨C成立，但AB不成立。⑵不一定有AB。若A为真，B为假，C为假，则A∧CB∧C成立，但AB不成立。⑶一定有AB。3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。⑴q∧(p→q)→p⑵p→(q∨r)⑶(p∨q)↔(q∨p)⑷(p∧q)∨(r∧q)→r⑸((¬p→(p∧¬q))→r)∨(q∧¬r)解：⑴q∧(p→q)→p的真值表如表1.24所示。表1.24pqp→qq∧(p→q)q∧(p→q)→p00101011101000111111使得公式q∧(p→q)→p成真的赋值是：00，10，11，使得公式q∧(p→q)→p成假的赋值是：01。第1章习题解答6⑵p→(q∨r)的真值表如表1.25所示。表1.25pqrq∨rp→(q∨r)0000100111010110111110000101111101111111使得公式p→(q∨r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式p→(q∨r)成假的赋值是：100。⑶(p∨q)↔(q∨p)的真值表如表1.26所示。表1.26pqp∨qq∨p(p∨q)↔(q∨p)00001011111011111111所有的赋值均使得公式(p∨q)↔(q∨p)成真，即(p∨q)↔(q∨p)是一个永真式。⑷(p∧q)∨(r∧q)→r的真值表如表1.27所示。表1.27pqrqp∧qr∧q(p∧q)∨(r∧q)(p∧q)∨(r∧q)→r0001000100110001010000010110011110011010101110111100000111100111使得公式(p∧q)∨(r∧q)→r成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，第1章习题解答7使得公式(p∧q)∨(r∧q)→r成假的赋值是：100。⑸((p→(p∧q))→r)∨(q∧r)的真值表如表1.28所示。使得公式((p→(p∧q))→r)∨(q∧r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式((p→(p∧q))→r)∨(q∧r)成假的赋值是：100。4.用真值表证明下列等价式：⑴(p→q)p∧q证明：证明(p→q)p∧q的真值表如表1.29所示。表1.29pqp→q(p→q)qp∧q001010011000100111111000由上表可见：(p→q)和p∧q的真值表完全相同，所以(p→q)p∧q。⑵p→qq→p证明：证明p→qq→p的真值表如表1.30所示。表1.30pqp→qpqq→p001111011101100010111001由上表可见：p→q和q→p的真值表完全相同，所以p→qq→p。表1.28pqrp∧qp→(p∧q)(p→(p∧q))→rq∧r((p→(p∧q))→r)∨(q∧r)0000010100100101010001110110010110011000101111011100101111101101第1章习题解答8⑶(p↔q)p↔q证明：证明(p↔q)和p↔q的真值表如表1.31所示。表1.31pqp↔q(p↔q)qp↔q001010010101100111111000由上表可见：(p↔q)和p↔q的真值表完全相同，所以(p↔q)p↔q。⑷p→(q→r)(p∧q)→r证明：证明p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表如表1.32所示。表1.32pqrq→rp→(q→r)p∧q(p∧q)→r00011010011101010010101111011001101101110111000101111111由上表可见：p→(q→r)和(p∧q)→r的真值表完全相同，所以p→(q→r)(p∧q)→r。⑸p→(q→p)p→(p→q)证明：证明p→(q→p)和p→(p→q)的真值表如表1.33所示。表1.33pqq→pp→(q→p)pqp→qp→(p→q)00111111010110111011011111110001由上表可见：p→(q→p)和p→(p→q)的真值表完全相同，且都是永真式，所以p→(q→p)p→(p→q)。⑹(p↔q)(p∨q)∧(p∧q)第1章习题解答9证明：证明(p↔q)和(p∨q)∧(p∧q)的真值表如表1.34所示。表1.34pqp↔q(p↔q)p∨qp∧q(p∧q)(p∨q)∧(p∧q)00100010010110111001101111101100由上表可见：(p↔q)和(p∨q)∧(p∧q)的真值表完全相同，所以(p↔q)(p∨q)∧(p∧q)⑺(p↔q)(p∧q)∨(p∧q)证明：证明(p↔q)和(p∧q)∨(p∧q)的真值表如表1.35所示。表1.35pqp↔q(p↔q)p∧qp∧q(p∧q)∨(p∧q)0010000010101110011011110000由上表可见：(p↔q)和(p∧q)∨(p∧q)的真值表完全相同，所以(p↔q)(p∧q)∨(p∧q)。⑻p→(q∨r)(p∧q)→r证明：证明p→(q∨r)和(p∧q)→r的真值表如表1.36所示。表1.36pqrq∨rp→(q∨r)qp∧q(p∧q)→r0000110100111101010110010111100110000110101111111101100111111001由上表可见：p→(q∨r)和(p∧q)→r的真值表完全相同，所以p→(q∨r)(p∧q)→r。第1章习题解答105.用等价演算证明习题4中的等价式。⑴(p→q)(p∨q)(条件等价式)p∧q(德·摩根律)⑵q→pq∨p(条件等价式)q∨p(双重否定律)p∨q(交换律)p→q(条件等价式)⑶(p↔q)((p→q)∧(q→p))(双条件等价式)((