高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解

1【考点8】椭圆、双曲线、抛物线2009年考题1、（2009湖北高考）已知双曲线1412222222byxyx的准线经过椭圆（b＞0）的焦点，则b=()A.3B.5C.3D.2选C.可得双曲线的准线为21axc,又因为椭圆焦点为2(4,0)b所以有241b.即b2=3故b=3.2、（2009陕西高考）“0mn”是“方程221mxny”表示焦点在y轴上的椭圆”的()（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选C.将方程221mxny转化为22111xymn,根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足110,0,mn且11nm，故选C.3、（2009湖南高考）抛物线28yx的焦点坐标是()A．（2，0）B．（-2，0）C．（4，0）D．（-4，0）【解析】选B.由28yx,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2p，故选B.4、（2009全国Ⅰ）已知椭圆22:12xCy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若3FAFB,则||AF=()(A)2(B)2(C)3(D)3【解析】选A.过点B作BMl于M,并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意3FAFB,故2||3BM.又由椭圆的第二定义,得222||233BF||2AF.5、（2009江西高考）设1F和2F为双曲线22221xyab(0,0ab)的两个焦点,若12FF，，(0,2)Pb是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为()A．32B．2C．52D．32【解析】选B.由3tan623cb有2222344()cbca,则2cea,故选B.6、（2009江西高考）过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF，则椭圆的离心率为()A．22B．33C．12D．132【解析】选B.因为2(,)bPca，再由1260FPF有232,baa从而可得33cea，故选B.7、（2009浙江高考）过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,BC．若12ABBC，则双曲线的离心率是()21世纪教A．2B．3C．5D．10【解析】选C.对于,0Aa，则直线方程为0xya，直线与两渐近线的交点为B，C，22,,(,)aabaabBCabababab，则有22222222(,),,ababababBCABabababab，因222,4,5ABBCabe．8、(2009山东高考)设双曲线12222byax的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为().A.45B.5C.25D.5【解析】选D.双曲线12222byax的一条渐近线为xaby,由方程组21byxayx,消去y,得210bxxa有唯一解,所以△=2()40ba,所以2ba,2221()5cabbeaaa,故选D.9、(2009山东高考)设斜率为2的直线l过抛物线2(0)yaxa的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为().3A.24yxB.28yxC.24yxD.28yx【解析】选B.抛物线2(0)yaxa的焦点F坐标为(,0)4a,则直线l的方程为2()4ayx,它与y轴的交点为A(0,)2a,所以△OAF的面积为1||||4242aa,解得8a.所以抛物线方程为28yx,故选B.10、（2009安徽高考）下列曲线中离心率为62的是()（A）22124xy（B）22142xy（C）22146xy（D）221410xy【解析】选B.由62e得222222331,1,222cbbaaa，选B.11、（2009天津高考）设双曲线)0,0(12222babyax的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（）Axy2Bxy2Cxy22Dxy21【解析】选C.由已知得到2,3,122bcacb，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为xxaby22.12、（2009宁夏、海南高考）双曲线24x-212y=1的焦点到渐近线的距离为()（A）23（B）2（C）3（D）1【解析】选A.双曲线24x-212y=1的焦点(4,0)到渐近线3yx的距离为340232d,选A.13、（2009宁夏、海南高考）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________.【解析】抛物线的方程为24yx，2111122122222212121212124,,,,4441yxAxyBxyxxyxyyyyxxxxyy则有，两式相减得，，直线l的方程为y-2=x-2,即y=x4答案：y=x14、(2009湖南高考)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60o，则双曲线C的离心率为_____________.【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是,(bcb是虚半轴长，c是焦半距)，且一个内角是30，即得tan30bc，所以3cb，所以2ab，离心率3622cea答案：6215、（2009上海高考）已知1F、2F是椭圆1:2222byaxC（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且21PFPF.若21FPF的面积为9，则b=____________.【解析】依题意，有2222121214||||18||||2||||cPFPFPFPFaPFPF，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。答案：316、（2009重庆高考）已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，若椭圆上存在一点P使1221sinsinacPFFPFF，则该椭圆的离心率的取值范围为．【解析】方法1，因为在12PFF中，由正弦定理得211221sinsinPFPFPFFPFF则由已知，得21acPFPF，即12aPFcPF设点00(,)xy由焦点半径公式，得1020,PFaexPFaex则00()()aaexcaex记得0()(1)()(1)acaaexecaee由椭圆的几何性质知0(1)(1)aexaaee则，整理得2210,ee解得2121(0,1)eee或，又2121(0,1)eee或，又，故椭圆的离心率(21,1)e方法2由解析1知12cPFPFa由椭圆的定义知5212222222caPFPFaPFPFaPFaca则即，由椭圆的几何性质知22222,,20,aPFacacccaca则既2ac-a20,所以2210,ee以下同解析1.答案：21,117、（2009四川高考）抛物线24yx的焦点到准线的距离是.【解析】焦点F（1，0），准线方程1x，∴焦点到准线的距离是2答案：218、（2009北京高考）椭圆22192xy的焦点为12,FF，点P在椭圆上，若1||4PF，则2||PF；12FPF的大小为.【解析】∵229,3ab2，∴22927cab，∴1227FF，又1124,26PFPFPFa，∴22PF，（第19题解答图）又由余弦定理，得2221224271cos2242FPF，∴12120FPF，故应填2,120.答案：2,12019、(2009广东高考)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为23,两个焦点分别为1F和2F,椭圆G上一点到1F和2F的距离之和为12.圆kC:0214222ykxyx)(Rk的圆心为点kA.(1)求椭圆G的方程(2)求21FFAk的面积(3)问是否存在圆kC包围椭圆G?请说明理由.【解析】（1）设椭圆G的方程为：22221xyab（0ab）半焦距为c;6则21232aca,解得633ac,22236279bac所求椭圆G的方程为：221369xy.21世纪教育网(2)点KA的坐标为(-k,2)12121126326322KAFFSFFV12FF12121126326322KAFFSFFV（3）若0k，由2260120215120kkf0可知点（6，0）在圆kC外，若0k，由22(6)0120215120kkf0可知点（-6，0）在圆kC外；不论K为何值圆kC都不能包围椭圆G.20、（2009重庆高考）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为433y，离心率32e，M是椭圆上的动点．（Ⅰ）若,CD的坐标分别是(0,3),(0,3)，求MCMD的最大值；（Ⅱ）如图，点A的坐标为(1,0)，B是圆221xy上的点，N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：OQOMON，0QABA．求线段QB的中点P的轨迹方程；21世纪教育网【解析】（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为22221yxab（a＞b＞0）.设22cab，由准线方程433y得.由32e得32ca，解得a=2,c=3，从而b=1，椭圆方程为2214yx.7又易知C，D两点是椭圆2214yx的焦点，所以,24MCMDa从而22()242MCMDMCMD，当且仅当MCMD，即点M的坐标为(1,0)时上式取等号，MCMD的最大值为4.21世纪教育网（II）如图（20）图，设M(,),(,)mmBBxyBxy(,)QQQxy.因为(,0),NNxOMONOQ，故2,,QNQMxxyy2222(2)4QQNQxyxy①因为0,QABABB11(1)(1)0,QQBBQQxyxyxxyy（）（）BBB+=+1.QQQxxyyxx所以②记P点的坐标为(,)PPxy，因为P是BQ的中点所以PBPB2=+,2=y+.QQxxxyy又因为22BN+=1,xy，结合①，②得2222222211(()())(2())44ppQBQBQBQBQNQNxyxxyyxxyyxxyy13(52(1)44QBPxxx）故动点P的轨迹方程为221()12xy21、（2009重庆高考）已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为55x，离心率5e．（Ⅰ）求该双曲线的方程；（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为(5,0)，B是圆22(5)1xy上的点，点M在双曲线右支上，求MAMB的最小值，并求此时M点的坐标；218世纪教育网【解析】（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为22221(0,0)xyabab，设22cab，由准线方程为55x得255ac，由5e得5ca解得1,5ac从而2b，该双曲线的方程为2214yx；（Ⅱ）设点D的坐标为(5,0)，则点A、D为双曲线的焦点，||||22MAMDa所以||||2||||2||MAMBMBMDBD≥，B是圆22(5)1xy上的点，其圆心为(0,5)C，半径为1，故||||1101BDCD≥-1,从而||||2||101MAMBBD≥≥当,MB在线段CD上时取等号，此时|