二次函数的四种表达式求法推导

爱上数学提高素养二次函数的四种表达式求法推导整理于2018.4.18夜（1）如果二次函数的图像经过已知三点，则设表达式为cbxaxy2，把已知三点坐标代入其中构造三元一次方程组求a、b、c。（2）二次函数顶点式：如果二次函数的顶点坐标为（h，k），则二次函数的表达式为：khxay2)(推导如下：abacabxaabacabxaacababxaacababxabxaacxabxacbxaxy44)2(]44)2[(]4)2[(])2()2([)(2222222222222则abackabh44,22顶点式的变形：设二次函数)0(2acbxaxy的图像交x轴于点A),(1ox和B)0,(2x，则abxx21，acxx21点A、B的距离为d，aacbaacbacabxxxxxxxxd444)(4)()(2222212212121222222222222222241)2(]41)2[(]44)2[(]4)2[(])2()2([)(adabxadabxaaacbabxaacababxaacababxabxaacxabxacbxaxy已知二次函数与x轴两个交点间的距离d，则设二次函数的表达式为：)]()[(00dxxxxy爱上数学提高素养（3）二次函数两根式：如果二次函数的图像与x轴交于点)0,()0,.(21xx和，则二次函数的表达式为：))((21xxxxay推导如下：设二次函数的图像交x)0(2acbxaxy于点),(1ox和)0,(2x，则21,xx和是一元二次方程)0(02acxax的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系得：abxx21，acxx21所以，))((])([)(212121222xxxxaxxxxxaacxabxacbxaxy（4）二次函数对称点式：如果二次函数的图像过点),(),(21mxmx和（它们关于抛物线对称轴221xxx对称），则可以得到二次函数的表达式对称点式：)0())((21amxxxxy，推导如下：方法1二次函数的图像过点),(),(21mxmx和，那么21xx和是x的一元二次方程mcbxax2（即02mcbxax）的两根，则有))((212xxxxamcbxax∴))((212mxxxxacbxax即mxxxxay))((21方法2二次函数cbxaxy2的图像经过点),(),(21mxmx和，则有cbxaxmcbxaxm121222解得)(2121xxabmxaxc代入cbxaxy2中，得mxxxxamxxxxxamxaxxxaaxy))((])([)(212121221221