高中数学空间向量的运算

3.1空间向量及其运算平面向量复习⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．几何表示法：用有向线段表示；字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段的起点与终点字母表示．AB相等的向量：长度相等且方向相同的向量．ABCD⒉平面向量的加减法运算⑴向量的加法：ab平行四边形法则a三角形法则(首尾相连)⒊平面向量的加法运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)推广⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：nnnAAAAAAAAAA114332211A2A3A4A1nAnA⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221AAAAAAAAAAnnn1A2A3A4AnA1nA⑵向量的减法ab三角形法则减向量终点指向被减向量终点一、空间向量的基本概念空间向量零向量单位向量相等向量相反向量ABa或01||ebaaa与既有大小，又有方向的量长度为零的向量长度为1的向量方向相同，长度相等的向量方向相反，长度相等的向量向量的模表示向量的有向线段的长度||aAB9结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。2）涉及空间任意两个向量问题，平面向量中有关结论仍适用它们。ababbbABOAOBa+babABbCOOCOACAa-b二、空间向量的加减运算11平面向量空间向量加法减法运算加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则运算律加法交换律abba加法结合律:()()abcabcabba加法交换律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律()()abcabc注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.2、对空间向量的加法、减法的小结化简结果的向量：列向量表达式，并标出，化简下已知平行六面体''''DCBAABCD；⑴BCAB；⑵'AAADABABCDA’B’C’D’例1(4)ACDBDC(3)ABCBAA''''ABCDABCD例1、已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BCAB解：ABCDA’B’C’D’BCAB⑴AC；⑵'AAADAB'AAADAB⑵'AAAC'CCAC　'AC始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量(4)ACDBDC(3)ABCBAA练习1、在如图所示的平行六面体中，求证：2.ACABADACABCDA’B’C’D’,ABCDABCD变式：已知平行六面体则下列四式中：其中正确的是。(1);(2);(3);(4).ABCBACACABBCCCAACCABBBBCCCAC15例如:a3a3a与平面向量一样,实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量.⑴当0时,a与向量a的方向相同;⑵当0时,a与向量a的方向相反;⑶当0时,a是零向量.三、空间向量的数乘运算法则16显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()()()ababaaaaa即：（）FEDCBA123891P（）、（）、（）练习17acb定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)思考⑴:对空间任意两个向量a与b,如果ab,那么a与b有什么关系?反过来呢?类似于平面,对于空间任意两个向量a,b(0b),a//bR,ab.四、共线向量及其定理18思考:如图,l为经过已知点A且平行非零向量a的直线,如何表示直线l上的任一点P?lAPa注:非零向量a叫做直线l的方向向量.B⑴∵//APa,∴存在唯一实数tR,使APta.∴点P在直线l上唯一实数,tR使APta①⑵对于任意一点O,有APOPOA则点P在直线l上唯一实数,tR使OPOAta②⑶点B在直线l上,且ABa则点P在直线l上唯一实数,tR使OPOAtAB③注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式,即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.O即，P,A,B三点共线。或表示为：(1).OPtOAtOB19例2、已知OE是以OAOBOC、、为棱的平行六面体OADBCFEG─的对角线,点M是ABC△的重心.求证:点M在直线OE上.OAMGEFCBD分析:证三点共线可尝试用向量来分析.N20五.共面向量及其定理:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OAaa注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。2.共面向量定理:如果两个向量ab、不共线,则向量p与向量ab、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)xy使pxayb.AabBCPp21思考1:如图,平面为经过已知点A且平行两不共线的非零向量ab、的平面,如何表示平面A上的任一点P呢?OAabBCPp⑴∵APab与、共面,∴唯一有序实数对(,),xy使APxayb.∴点P在平面上∴唯一有序实数对(,),xy使APxayb①⑵∵已知点BC、在平面内且ABa,ACb∴点P在平面上是存在唯一有序实数对(,),xy使APxAByAC②⑶∵已知点BC、在平面内且ABa,ACb,对于空间任意一点O∴点P在平面上是存在唯一有序实数对(,),xy使OPOAxAByAC③注:①、②、③式都称为平面的向量表示式,即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.22思考2(课本P88思考)已知空间任意一点O和不共线的三点ABC、、,满足向量关系式OPxOAyOBzOC(其中1xyz)的点P与点ABC、、是否共面?231.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：(A)若，则P、A、B共线(B)若，则P是AB的中点(C)若，则P、A、B不共线(D)若，则P、A、B共线OPOAtAB3OPOAABOPOAtABOPOAABA2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为()1()1()0()3()3ABCDOMxOAOBOC11＋＋33练习:D243.下列说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线4.下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面DCAMCGDB1)2abc（1)3abc（练习5:如图,已知空间四边形ABCD中,向量ABa,ACb,ADc,若M为BC的中点,G为BCD△的重心,试用abc、、表示下列向量:⑴DM⑵AG例3(课本例1)如图，已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量,,,,求证：⑴四点E、F、G、H共面；⑵平面EG//平面AC.OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD例3(课本例1)已知ABCD，从平面AC外一点O引向量A,,,OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD求证：①四点E、F、G、H共面；②平面AC//平面EG.BCDOEFGH证明：∵四边形ABCD为①∴ACABAD（﹡）EGOGOEkOCkOA()kOCOAkAC（﹡）代入()kABAD()kOBOAODOAOFOEOHOE所以E、F、G、H共面。EFEH例3已知ABCD，从平面AC外一点O引向量,,,OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD求证：①四点E、F、G、H共面；②平面AC//平面EG。证明：由面面平行判定定理的推论得：②EFOFOEkOBkOA()kOBOAkAB由①知EGkAC//EGAC//EFAB//EGAC面面ABCDOEFGH六、两个向量的夹角两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0°,90°],而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是[0°,180°]七、两个向量的数量积注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.abB类比平面向量,你能说出ab的几何意义吗?B1如图11AB是b在a方向上的投影向量.AA12、空间两个向量的数量积的性质3、空间向量数量积的运算律与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：向量数量积的运算适合乘法结合律吗?即(a•b)c一定等于a(b·c)吗?例4、已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150°，计算：(1)(a+2b)·(2a-b)；(2)|4a一2b|．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：(1);(2);(3);(4).ABACADBDGFACEFBC练习6ABCDEFG练习7ABCDABCD4AB3,5,90,60ADAABADBAADAAACD'C'B'DABCA'解：ACABADAA||85AC22||()ACABADAA222||||||2()ABADAAABADABAAADAA2224352(0107.5)85在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．练习8已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN．证明：练习910.如图，在空间四边形ABCD中，2AB，3BC，23BD，3CD，30ABD，60ABC，求AB与CD的夹角的余弦值奎屯王新敞新疆解：∵CDBDBC，∴ABCDABBDABBC||||cos,ABBDABBD||||cos,ABBCABBC223cos15023cos120633∴31cos,232||||ABCDABCDABCD，∴AB与CD的夹角的余弦值为12．说明：由图形知向量的夹角时易出错，如,150ABBD易错写成,30ABBD，注意推敲！练习11123123(,,),(,,)aaaabbbb设则;ab;ab;a;ab//;ab;ab112233(,,)ababab112233(,,)ababab123(,,),()aaaR112233ababab112233,,()ababababR11223300abababab八、向量的直角坐标运算新课2222123||aaaaaa2222123||bbbbbb1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。九、距离与夹角||ABABABAB212121(,,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222212121||()()()ABdABxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、，则111(,,)Axyz222(,,)Bxyz（2）空间两点间的距离公式cos,||||ababab112233222222123123;abababaaabbb2.两个向量夹角公式注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。cos,1ab与abcos,1ab与abcos,0abab例5．已知(2,3,5),(3,1,4),,||,8,abababaaab求(2,3,5)