菱形的性质和判定

一、知识梳理二、基础过关1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）。A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等2、下列命题中，真命题是（）。A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形D.对角线相等的四边形是菱形三、能力提升1、菱形周长为40，一条对角线长为16，则另一条对角线长为,这个菱形的面积为。2、菱形ABCD中∠A=120°，周长为14.4，则较短对角线的长度为。3、在矩形ABCD中，1A、1B、1C、1D分别是四边的中点，顺次连结1A、1B、1C、1D。求证：四边形1A1B1C1D是菱形。四、合作探究如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D作DP∥OC，且DP=OC，连结CP,试判断四边形CODP的形状，并证明。★思维延伸：若题目中的矩形变为菱形，（图一），结论应变为什么？五、学习札记六、拓展延伸（1）想一想，依次连接任意四边形ABCD各边的中点，试判断得到的新四边形的形状，并证明。（2）若（1）中的任意四边形为平行四边形，其它条件不变，则（1）中结论是否成立？（3）若（1）中的任意四边形为对角线相等的四边形，其它条件不变，试判断得到的新四边形的形状，并证明。（4）若（1）中的任意四边形为矩形，其它条件不变，则（3）中结论是否成立？（5）若（1）中的任意四边形为对角线互相垂直的四边形，其它条件不变，试判断得到的新四边形的形状，并证明。（6）若（1）中的任意四边形为菱形，其它条件不变，则（5）中结论是否成立？归纳：中点四边形的判定①顺次连接任意四边形各边的中点，所得的四边形是②顺次连接对角线的四边形各边的中点，所得的四边形是③顺次连接对角线的四边形各边的中点，所得的四边形是4.3.1菱形的性质学习过程一、研读教材1、叫做菱形。菱形是的平行四边形。2、探究菱形的性质。例1：已知四边形ABCD是菱形，且AD=BC，求证四边相等。性质1：例2：已知四边形ABCD是菱形，求证AC⊥BD。性质2：例3：已知四边形ABCD是菱形，求证AC、BD各平分一组对角。性质3：例4：在菱形ABCD中，已知AC=6，BD=8，边上的高是4.8，求菱形ABCD的面积。性质4：注意，性质5：菱形具有的一切性质。思考：菱形具有而平行四边形不一定具有的性质有哪些？菱形是图形，对称轴有条，即两条所在的直线。二、知识运用。1、在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，（1）AB===,即菱形的。（2）图中的等腰三角形有，直角三角形有，△AOD≌≌≌，由此得出菱形的对角线，每一条对角线。（3）如果∠ADC=120°，则△ABD和△BCD是三角形，OD=AD。2、课堂练习。（1）菱形的对角线长为24和10，则菱形的边长为，周长为，面积为。（2）在菱形ABCD中，已知∠ABC=60°,AC=4，则AB=。（3）菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________．（4）已知菱形的面积等于80cm2，高等于8cm，则菱形的周长为.（5）已知菱形ABCD的周长为20cm，∠A：∠ABC＝1：2，则BD=cm.（6）在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠EAF等于（）A．75°B．60°C．45°D．30°（7）菱形ABCD，若∠A:∠B＝2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（）A．相等B．互相垂直且不平分C．互相平分且不垂直D．垂直且平分（8）已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为5cm，求菱形各个角的度数．（9）已知菱形ABCD的边长为2cm,∠BAD＝120°对角线AC、BD相交于点O，试求出菱形对角线的长和面积．（10）如图，已知菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm，求菱形的高．ODCBA三、课后练习：（1）已知菱形两邻角的比是1：2，周长为40cm，则较短对角线的长是.（2）已知菱形的一条对角线的长为12cm，面积是30cm2，则这个菱形的另一条对角线的长为cm.（3）已知菱形ABCD的周长为40cm，BD=34AC，则菱形的面积为（）A．96cm2B．94cm2C．92cm2D．90cm2（4）已知菱形的周长为40cm，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为()A．6cm，8cmB．3cm，4cmC．12cm，16cmD．24cm，32cm（5）已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为()A.45°，135°B.60°，120°C.90°，90°D.30°，150°（6）菱形的边长是2cm，一条对角线的长是23cm，则另一条对角线的长是（）A．4cmB．3cmC．2cmD．23cm（7）已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5：4，求菱形的各内角的度数．（8）已知，如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF＝60°.∠BAE＝18°，求∠CEF的度数．1．（2014•槐荫区二模）下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形2．（2014秋•龙岗区期末）下列命题中，真命题是（）A．有两边相等的平行四边形是菱形B．有一个角是直角的四边形是直角梯形C．四个角相等的菱形是正方形D．两条对角线相等的四边形是矩形3．（2014•新泰市一模）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC=90°时，它是矩形；④当AC=BD时，它是正方形．A．1组B．2组C．3组D．4组4．（2014春•嵊州市期末）顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．以上都不对5．（2014春•武夷山市校级期中）菱形和矩形一定都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分且相等D．对角线互相平分6．（2013秋•冠县校级期末）下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是菱形7．（2014春•金牛区期末）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分8．下面性质，矩形不一定具有的是（）A．对角线相等B四个角都相等C是轴对称图形D．对角线垂直9．菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角相等B．四边相等C．对角线互相平分D．四角相等10．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：3，则菱形的面积为（）A．25cm2B．16cm2C．cm2D．cm211．下列条件能判定四边形是菱形的是（）A．对角线相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线互相垂直平分的四边形D．对角线相等且互相垂直的四边形12．（2013•湘西州）下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线一定互相垂直13．（2013•怀化）如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线AC=（）A．12B．9C．6D．314．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A．25B．20C．15D．1015．（2014秋•宁城县期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：四边形ABEF是菱形．16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O，过点C作CP∥DB，过点B作BP∥AC，两线相交于点P．求证：四边形COBP是菱形．17．（2012•淮安模拟）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；（2）问∠G为多少度时，四边形DEBF是菱形．并证明你的结论．18．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，AC⊥AB，点E是AC的中点，DE的延长线与BC相交于点F．求证：四边形AFCD是菱形．19．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，BE平分∠CBA交AC于E，交CD于F，CG⊥BE交AB于G．（1）求证：四边形CFGE是菱形；（2）若AG=4，BG=6，求AE和DF的长．20．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．21．（2014•淮安）如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．22．已知：平行四边形ABCD中，E、F是BC、AB的中点，DE、DF分别交AB、CB的延长线于H、G；（1）求证：BH=AB；（2）若四边形ABCD为菱形，试判断∠G与∠H的大小，并证明你的结论．23．如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．24．已知：如图，△ABC≌△CAD．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）若AE、CF分别平分∠CAD、∠ACB，且∠CFB=∠B，求证：四边形AECF为菱形．25．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=8，AD=16，求MD的长．26．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC且AD=BC，∠BAD=90°，E、F分别是BD、CD上的中点，连接AE、EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若BD=BC，求证：四边形AEFD是菱形．27．把两个完全相同的矩形纸片ABCD，BFDE如图放置，已知AB=BF，求证：四边形BHDG是菱形．28．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC边相交于点E，∠ABC的平分线与AD边相交于点F．请证明四边形ABEF是菱形．29．（2013秋•姜堰市期末）如图，在▱ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E，交AD于F．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AC⊥CD，AB=6，BC=10，求四边形AECF的面积．30．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠EAC的大小．