利用建系方法解决向量问题

(2013新课标Ⅱ卷文14)（14）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD_______。【秒解】如图建系并求出相关点坐标，)2,1(AE,)2,2(BDAEBD2【通解】在正方形中，12AEADDC,BDBAADADDC,所以2222111()()222222AEBDADDCADDCADDC。例：已知点P是等边ABC所在平面内一点，且满足PCPBPA23,则PCPA=219（2017江苏12）12.如图,在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为,且tan=7,OB与OC的夹角为45°.若OCmOAnOB(,)mnR,则mn▲.【答案】3【通解】由tan7可得72sin10，2cos10，根据向量的分解，易得cos45cos2sin45sin0nmnm，即2222102720210nmnm，即510570nmnm，即得57,44mn，所以3mn.ACBO(第12题)xyA(0,0))D(0,2)E(1,2)B(2,0)C（2017天津卷文14）（14）在△ABC中，60A，AB=3，AC=2.若2BDDC，AEACAB（R），且4ADAE，则的值为.【答案】311【通解】试题分析：01232cos603,33ABACADABAC,则122123()()3493433333311ADAEABACACAB.【考点】1.平面向量基本定理；2.向量数量积.【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，向要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量,ABAC，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.（2016江苏13）13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4BCCA，1BFCF，则BECE的值是▲.【答案】78【通解】因为2222436444AOBCFOBCBACA,22414FOBCBFCF,因此22513,BC82FO，22224167448EOBCFOBCBECE考点：向量数量积（2016上海文12）12.如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P是曲线21yx=-上一个动点，则OPBA×uuuruur的取值范围是.【答案】[1,2]【通解】试题分析：由题意，设(cos,sin)P,[0,π]，则(cos,sin)OP，又(1,1)BA,所以cossin2sin()[1,2]4OPBA.考点：1.数量积的运算；2.数形结合的思想.（2015天津文13）13.在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,2,1,60,ABBCABC点E和点F分别在线段BC和CD上,且21,,36BEBCDFDC则AEAF的值为．（2015浙江文13）、已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则．【答案】【通解】试题分析：由题可知，不妨，，设，则，，所以，所以.考点：1.平面向量数量积运算；2.向量的模.（2016天津文7）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点ED,分别是边BCAB,的中点，连接DE并延长到点F，使得EFDE2，则BCAF的值为（）（A）85（B）81（C）41（D）811【答案】B【通解】试题分析：设BAa，BCb，∴11()22DEACba，33()24DFDEba，1353()2444AFADDFabaab，∴25353144848AFBCabb，故选B.考点：向量数量积