函数与数列的极限-强化练习题答案---副本

1函数与数列的极限一、单项选择题1．下面函数与yx为同一函数的是（）2.Ayx2.Byxln.xCye.lnxDye2．已知是f的反函数，则2fx的反函数是（）1.2Ayx.2Byx1.22Cyx.22Dyx3．设fx在,有定义，则下列函数为奇函数的是（）.Ayfxfx.Byxfxfx32.Cyxfx.Dyfxfx4．下列函数在,内无界的是（）21.1Ayx.arctanByx.sincosCyxx.sinDyxx5．数列nx有界是limnnx存在的（）A必要条件B充分条件C充分必要条件D无关条件6．当n时，21sinn与1kn为等价无穷小，则k=（）A12B1C2D-2二、填空题（每小题4分，共24分）7．设11fxx，则ffx的定义域为8．设2(2)1,fxx则(1)fx9．函数44loglog2yx的反函数是10．lim12nnnn11．若105lim1,knnen则k12．2352limsin53nnnn=三、计算题（每小题8分，共64分）13．求函数21arcsin71xyx的定义域14．设sin1cos2xfx求fx15．设fxlnx，gx的反函数1211xgxx，求fgx16．判别fx2ln1xx的奇偶性。217．已知fx为偶函数，gx为奇函数，且11fxgxx，求fx及gx18．设32lim8nnnana，求a的值。19．求111lim12231nnnn四、综合题（每小题10分，共20分）21．设fx=21xx，求3fx=fffx并讨论3fx的奇偶性与有界性。22．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角的函数。五、证明题（每小题9分，共18分）23．设fx为定义在,的任意函数，证明fx可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。24设fx满足函数方程2fx+1fx=1x，证明fx为奇函数。3＊选做题1已知222(1)(21)126nnnn，求22233312lim12nnnnnn2若对于任意的,xy，函数满足：fxyfxfy，证明fy为奇函数。第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1．下列极限正确的（）A．sinlim1xxxB．sinlimsinxxxxx不存在C．1limsin1xxxD．limarctan2xx解：011sinlimsinlimxttxtxxt选C注：sin1sin10lim0;lim1sin101xxxxxABxxx2．下列极限正确的是（）A．10lim0xxeB．10lim0xxeC．sec0lim(1cos)xxxeD．1lim(1)xxxe解：101lim0xxeee选A注：:,:2,:1BCD3．若0limxxfx，0limxxgx，则下列正确的是（）A．0limxxfxgxB．0limxxfxgxC．01lim0xxfxgxD．0lim0xxkfxk解：000limlimxxxxkkfxkfxk选D4．若02lim2xfxx，则0lim3xxfx（）A．3B．13C．2D．12解：002323limlim32xttxxtfxft021211lim23323tftt选B45．设1sin(0)0(0)1sin(0)xxxxfxxaxx且0limxfx存在，则a=（）A．-1B．0C．1D．2解：0sinlim1,xxx01limsinxxaoax1a选C6．当0x时，11afxx是比x高阶无穷小，则（）A．1aB．0aC．a为任意实数D．1a解：0011112limlim01aaxxxxaaxx故选A二、填空题（每小题4分，共24分）7．lim1xxxx解：原式lim1111lim11xxxxxeex8．2112lim11xxx解：原式112lim11xxxx111lim12xx9．3100213297lim31xxxx解：原式3972132limlim3131xxxxxx32832710．已知216lim1xxaxx存在，则a=解：1lim10xx21lim60xxax160,7aa11．1201arcsinlimsinxxxexx解：11220011sin1,lim0limsin0xxxxeexx又00arcsinlimlim1xxxxxx故原式=112．若220ln1lim0sinnxxxx且0sinlim01cosnxxx,则正整数n=解：222200ln1limlimsinnnxxxxxxxx20420,lim02nxnxnx2,4,nn故3n三、计算题13．求sin32limsin23xxxxx解：原式=sin32limsin23xxxxxsin31lim0sin31,lim0xxxxxx5sin21lim0sin21,lim0xxxxxx原式02203314．求01tan1sinlim1cosxxxxx解：原式有理化0tansinlim(1cos)(1tan1sin)xxxxxxx0tan(1cos)1lim(1cos)2xxxxx0tan111limlim222xxxxxx15．求21limsincosxxxx解：令1tx，当x时，0t原式10limcossin2tttt10lim1cos1sin2tttt0cos1sin2lim2ttttee16．求0lncos2limlncos3xxx解：原式0ln1cos21limln1cos31xxx变形0cos21limcos31xxx等价2021242lim1932xxx等价注:原式02sin2cos3limcos23sin3xxxxx4917．求02limsinxxxeexxx解：原式0020lim1cosxxxeex000000limlim2sincosxxxxxxeeeexx18．设fx1,01cos,0xeaxxxx且0limxfx存在，求a的值。解：10lim0xxeaeaaa2001cos2limlimxxxxxx0122lim2xxx22a19．113ln0limsin3xxx解：原式003coslimsin30ln(sin3)3lim13ln0xxxxxxxee换底法0031limlim3sin33xxxxxxeee620．求21limln1xxxx解：原式201ln11limtttxtt20ln1limtttt通分01101lim2ttt0001111limlim2112tttttt四、证明题（共18分）21．当x时且lim0,limxxuxvx,证明limlim1xuxvxvxxuxe证：lim1vxxux1lim1uxvxuxxuxlimxuxvxe证毕22．当0x时，证明以下四个差函数的等价无穷小。（1）3tansin02xxxx等价于（2）3tan03xxxx等价于（3）3sin6xxx等价于0x（4）3arcsin06xxxx等价于证：30tansin1lim2xxxx3000tan1coslim2xxxx2302lim12xxxx当0x时，3tansin2xxx22003tansec12limlim13xxxxxxx222200tanlimlim1xxxxxx当0x时，2tan3xxx03sin3lim16xxxx021coslim12xxx20212lim112xxx当0x时，31sin6xxx03arcsin4lim16xxxx220022211111limlim11122xxxxxxx720212lim1112xxx当0x时，31arcsin6xxx等价于五、综合题（每小题10分，共20分）23．求2lim39121xxxx解：原式2229921lim3921xxxxxxx有理化221lim3921xxxxx21221lim3332139xxxx24．已知22281lim225xxmxxnxn，求常数,mn的值。解：（1）∵原极限存在且22lim220xxnxn22lim80,4280xxmxm212,6mm（2）22268lim22xxxxnxn2002646lim2242xxxnn2125n102n12n答6,12mn选做题求1101limxxxxe解：原式11011lim1xxxxee110011limlimxxxxxxexeeee令11ln11xxxyxe121ln111xxxxyxx121ln111xxxxxxx原式20201ln10ln1limlim123xxxxxxxxxxee201lim232xxxxee第三讲：函数的连续性与导数、微分的概念的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1．若fx为是连续函数，且01,10ff，则1limsinxfxx()A．-1B．0C．1D．不存在解：原式1sin1limsinlim1xxfxfxfxx连续10f，选B2．要使ln1mxfxkx在点0x处连续，应给0f补充