两轮平衡车建模、控制与编程

两轮平衡车建模1．数学建模对于车体模型，假设已知各机械参数常量：参数名称参数意义L除两轮以外其余部分重心距车轴距离R车轮半径D两轮间距离pm除两轮以外其余部分质量m车轮质量xJ沿X轴的除两轮以外刚体的转动惯量yJ沿Y轴的除两轮以外刚体的转动惯量zJ沿Z轴的除两轮以外刚体的转动惯量J车轮绕轴心转动惯量RJ车轮绕半径转动惯量gmpLRmR2DXYZY设置各状态变量以及控制变量：参数名称参数意义除两轮以外刚体的倾斜角度，以顺时针为正L左轮转过角度，以顺时针为正R右轮转过角度，以顺时针为正LM左轮电机力矩，以顺时针为正RM右轮电机力矩，以顺时针为正通过拉格朗日方程对其进行动力学分析。一、求解车体除两轮外部分动能车体沿X轴方向速度：RLVRLx2)(cos车体沿Y轴方向速度(应该是转动)：RDLVRLy)(sin车体沿Z轴方向速度sinLVz车体沿过质心的Z轴的转动惯量为：myzJJJyzzdsincos22（查阅高等数学与理论力学）由于假设车体关于ZY平面对称，因此0dmyz因此22sincosyzzJJJ则可以得到车体的平动动能：2221)sin())(sin()2)(cos21LRDLRLERLRLkp（车体的转动动能为：22222))()(sincos(21xRLyzkpJRDJJE则车体的总动能为：21kpkpkpEEE二、求解车轮动能左车轮平动速度为：RVLxwL右车轮平动速度为RVRxwR两轮有同样的绕垂直于半径的转动速度：RDRLw)(则左车轮的动能为：222)(2121)(21DRJJRmERLRLLkwL则右车轮的动能为：222)(2121)(21DRJJRmERLRRRkwR三、求解车体势能由于在平地上行进，车轮势能不变。车体整体势能可变部分表示为：cosgmEpp四、拉格朗日函数的求解得到最终的拉格朗日函数为：pkwkwkpkpEEEEELLR21依据拉格朗日动力学法求解，进行如下运算：RLMMLdtLdLLLMLdtLdRRRMLdtLd得到动力学方程：方程一：RLRLzyppRLpxpMMRDJJLmgLmRLmJLm222)(cossinsin2)(cos)（方程二：LRLRLLRLzypRLzypRLpppMDRJJmRDRJJLmDRJJLmRmLRmLRm22222222222222)(2)(cossin2)(cossinsin4)(sin21cos21方程三：RRLRRRRLzypRLzypRLpppMDRJJmRDRJJLmDRJJLmRmLRmLRm22222222222222)(2)(cossin2)(cossinsin4)(sin21cos21五、方程中各项的力学意义分析方程一中：)2xpJLm（表示的是让车体产生的角加速度，应该产生的合力矩为)2xpJLm（，其中转轴为车轮中心。RLmRLp2)(cos是以车底盘为参考系而产生的非惯性力的力矩。singLmp是重力产生的力矩。22)(cossinRDJJLmRLzyp是离心力的力矩。RLMM为电机产生的力矩。方程二中：对于轮子的受力分析中，由于车体自身有加速度以及角加速度，因此需要从轮轴给予车体一定的力产生加速度。在轮子上，由于轮轴收到车体的反作用力，为了让轮子产生抵消车轮轴心收到的作用力，需要由地面给予车轮额外的作用力。因而为了让车轮能够以预计的角加速度运转，力矩不仅要为角加速度提供力矩，还应克服地面产生的作用力的力矩。cos21LRmp为使车体产生水平加速度所需要的力对轮子产生的力矩，该加速度为转动速度改变造成的加速度水平分量4)(2RmRLp为使车体产生水平加速度所需要的力对轮子产生的力矩，该加速度为底盘的加速度。与之前加起为总的水平加速度。sin212LRmp为车体离心力在水平方向产生的力矩222222)(cossinsinDRJJLmRLzyp是车体在XY平面绕Z轴旋转角加速度所需要的力矩转移到轮上的力矩。所以在两个轮上方向不相同。222)(cossin2DRJJLmRLzyp为使车体克服摆动造成的柯里奥利力力矩，而由轮子为车体提供力矩时，轮子收到的反作用力造成的力矩。RmR2为让车体产生RR的加速度所需要的力矩RJ为让车体产生R的角加速度所需要的力矩22)(2DRJRLR为让车体产生绕半径转动的角加速度所需要的力矩六、控制矩阵令：222222222212cossinsin4DRJJmRDRJJLmRmKRzypp22222222222cossinsin4DRJDRJJLmRmKRzypp223)(cossinsinRDJJLmgLmKRLzyppsin2124LRmKp2225)(cossin2DRJJLmKRLzyp则有控制矩阵：RLRLppppxpMMKKKKKKKLRmKKLRmLRmLRmJLm10010011002cos02cos00102cos2cos05454312212此为非线性控制方程，可以用于matlab仿真将其在小角度线性化以后，得到：RLRLpRLppppxpMMgLmKKLRmKKLRmLRmLRmJLm1001001100000000001000002cos02cos00102cos2cos012212建立两车轮扭矩与转角之间的关系