八年级数学上册第十二章全等三角形专题课堂三三角形全等中辅助线的常见类型课件新版新人教版

第十二章全等三角形专题课堂(三)三角形全等中辅助线的常见类型一、倍长中线法1．如图，在△ABC中，D为BC的中点．(1)求证：AB＋AC2AD；(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．解：(1)延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，由SAS可证△ADC≌△EDB，则AC＝BE，AD＝DE，∴AE＝2AD，在△ABE中，AB＋BEAE，∴AB＋AC2AD(2)由(1)可知，BE＝AC＝3，则在△ABE中，5－3AE5＋3，即2AE8，∴1AD42．如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA，求证：AE＝2AD.解：延长AD至M，使DM＝AD，连接MC，由SAS可证△ABD≌△MCD，∴∠B＝∠MCD，∵∠BAC＝∠BCA，∠ACE＝∠B＋∠BAC，∴∠ACM＝∠ACE，再证△ACM≌△ACE，∴AE＝AM，∴AE＝2AD3．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM.解：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，∵点M为BC的中点，∴BM＝CM.又∵∠BMN＝∠CMA，∴△AMC≌△NMB(SAS)，∴AC＝BN，∠C＝∠NBM，∠ABN＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD.又∵BN＝AC＝AD，AB＝EA，∴△ABN≌△EAD(SAS)，∴DE＝NA，又∵AM＝MN，∴DE＝2AM二、截长补短法4．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，求证：AC＝AE＋CD.解：在AC上取AF＝AE，连接OF.∵AD平分∠BAC，∴∠EAO＝∠FAO，在△AEO和△AFO中，AE＝AF，∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∴△AEO≌△AFO(SAS)，∴∠AOE＝∠AOF.∵AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，∴∠ECA＋∠DAC＝12∠ACB＋12∠BAC＝12(∠ACB＋∠BAC)＝12(180°－∠B)＝60°，则∠AOC＝180°－∠ECA－∠DAC＝120°，∴∠AOC＝∠DOE＝120°，∴∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°，则∠COF＝60°，∴∠COD＝∠COF.在△FOC与△DOC中，∠COF＝∠COD，CO＝CO，∠FCO＝∠DCO，∴△FOC≌△DOC(ASA)，∴DC＝FC.∵AC＝AF＋FC，∴AC＝AE＋CD5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，AB＝BC，E，F分别在AD，CD上，且∠EBF＝60°.求证：EF＝AE＋CF.解：延长DC至M，使CM＝AE，连接BM.在△ABE和△CBM中，AE＝CM，∠A＝∠BCM＝90°，AB＝CB，∴△ABE≌△CBM，∴BE＝BM，∠ABE＝∠CBM.∵∠D＝60°，∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC＝360°－60°－90°×2＝120°.∵∠EBF＝60°，∴∠ABE＋∠CBF＝∠ABC－∠EBF＝120°－60°＝60°，∴∠MBF＝∠MBC＋∠CBF＝∠ABE＋∠CBF＝60°，∴∠MBF＝∠EBF.在△BMF和△BEF中，BM＝BE，∠MBF＝∠EBF，BF＝BF，∴△BMF≌△BEF，∴MF＝EF，∵MF＝MC＋CF，∴EF＝AE＋CF三、作平行线构造三角形全等6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF.解：过点B作BG∥AC，交CF的延长线于点G，∴∠G＝∠ACE.∵AC⊥BC，CE⊥AD，∴∠ACE＋∠DCE＝∠ADC＋∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠ADC，∴∠G＝∠ADC.又∵AC＝CB，∠ACD＝∠CBG＝90°，∴△ADC≌△CGB(AAS)，∴BG＝CD＝BD.在等腰直角△ABC中，∠CAB＝∠ABC＝45°，∵BG∥AC，∴∠GBF＝∠CAB，∴∠GBF＝∠DBF，又∵BF＝BF，BG＝BD，∴△GBF≌△DBF(SAS)，∴∠G＝∠BDF，∴∠ADC＝∠BDF四、作垂线构造三角形全等7．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，求证：PC＝PD.解：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEC＝∠PFD＝90°.∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF.∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°，而∠PDO＋∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF.在△PCE和△PDF中，∠PCE＝∠PDF，∠PEC＝∠PFD，PE＝PF，∴△PCE≌△PDF(AAS)，∴PC＝PD8．将一把三角尺放在正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，一条直角边始终经过点B.(1)如图，当另一条直角边与边CD交于点Q时，线段PB与PQ之间有怎样的大小关系？试说明你的理由；(2)若另一条直角边与DC的延长线交于点Q时，上面的结论还成立吗？为什么？解：(1)PB＝PQ.理由：过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，∠PEB＝∠PFQ＝90°，又∵AC为对角线，∴PE＝PF.在四边形PBCQ中，∠BPQ＝∠BCQ＝90°，∴∠PBC＋∠PQC＝180°，又∵∠PQC＋∠PQF＝180°，∴∠PBC＝∠PQF，∴△PBE≌△PQF，∴PB＝PQ(2)结论还成立．理由同(1)五、旋转变换法9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD，求证：EF＝BE＋FD.