数值分析课程教学大纲

《数值分析》课程教学大纲适用专业信息与计算科学总学时72学分4一、编写说明（一）本课程的性质、地位和作用随着计算机的迅速发展，在科学、技术、工程、生产、医学、经济和人文等领域中抽象出来的许多数学问题可以应用计算机计算、求解，本课程详细、系统地介绍了计算机中常用的数值计算方法及有关理论。通过学习使学生掌握数值分析的基本知识，学会使用数值分析方法解决实际问题的技能技巧，并为后继应用型课程奠定基础。本课程是信息与计算科学专业的一门重要的专业课程。（二）本大纲制定的依据数值分析是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身体系的课程，既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程。因此学习本课程时，要注意掌握方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及与计算机的结合，重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。（三）大纲内容选编原则与要求1．要学好计算方法课程必须掌握高数、线性代数和算法语言的基本内容，还需能熟练应用计算机。任课教师在讲授每章之前，可用少量时间把涉及到的学过的内容复习一下。2．为掌握好本课内容，学生应做一定数量的理论分析与计算练习。3．各章的上机时间可调整，也可讲完几章后再上机，任课教师可灵活掌握。（四）实践环节1．实践环节主要分为习题课、上机、问题讨论、课后辅导和课后作业几部分。其中习题课12学时，上机16学时，问题讨论可在辅导课或课后完成，课后辅导每周2学时（不占总学时）。2．上机主要内容与要求：插值法、函数逼近、数值积分与数值微分、常微分方程初值问题的数值解法、方程求根、解线性方程组的直接方法、解线性方程组的迭代法、矩阵的特征值与特征向量计算。要求把以上章节学过的主要算法编程，上机求解问题，其中每章2学时。（五）教学时数分配表章节序号教学学时环节名称课堂讲授讨论实验其它课程设计小计一绪论22二插值法72211三函数逼近与计算62210四数值积分与数值微分72211五常微分方程数值解法62210六方程求根426七解线性方程组的直接方法62210八解线性方程组的迭代法3216九矩阵的特征值与特征向量计算3216总计44161272（六）考核方法与要求1.平时成绩：包括作业、出勤、课堂提问、讨论情况及期中成绩。2.试卷成绩：期末成绩。3.实验成绩：上机情况。4.综合考核成绩：平时成绩*20%+实验成绩*10%+期末成绩*70%。（七）教材与主要参考书使用教材：《数值分析》第三版，李庆扬等，清华大学出版社，1986；主要参考书：1.《数值计算方法》，林成森，科学出版社，1998；2.《数值分析》，杨大地等，重庆大学出版社，1998；3.《数值分析》第二版，孙志忠等，东南大学出版社，2002；4.《数值分析》，王德明等，哈尔滨出版社，2001。二、教学内容纲要第一章绪论一、教学基本要求1.掌握误差的基本概念与数值运算中误差分析的原则和方法。2.了解误差的来源。二、教学内容第一节数值分析的对象与特点要点：了解数值分析的对象与特点。第二节误差基础知识要点：误差来源，△误差度量。第三节误差分析要点：初等运算的误差估计，△误差分析的原则和方法。第二章插值法一、教学基本要求1.掌握多项式插值公式的存在唯一性条件及其余项表达式的推导。2.熟练掌握拉格朗日插值多项式及其基函数的性质。3.牛顿插值多项式的构造方法，掌握差商的计算过程及有关性质。4.掌握构造埃尔米特插值多项式的基函数法。5.了解逐次线性插值与分段低次插值。6.理解三次样条函数及三次样条插值函数的定义及其构造方法。二、教学内容第一节引言要点：插值的基本概念。第二节拉格朗日插值要点：插值多项式的唯一性，△○拉格朗日插值公式，插值余项。第三节逐次线性插值法要点：逐次线性插值。第四节均差与牛顿插值公式要点：△均差，△牛顿插值公式。第五节埃尔米特插值要点：△埃尔米特插值第六节分段低次插值要点：分段线性插值，分段埃尔米特插值。第七节三次样条插值要点：三次样条函数，三转角方程，三弯矩方程。第三章函数逼近与计算一、教学基本要求1.理解最佳一致逼近与最佳平方逼近的概念。2.会用切比雪夫定理构造最佳逼近函数。3.能正确应用法方程组，获得最佳平方逼近函数。4.掌握曲线拟合的最小二乘方法，并能用该方法解决一些实际问题，如曲线拟合，解矛盾方程等。5.熟知正交多项式的有关性质，能用正交多项式获得最佳平方逼近多项式及最佳一致逼近多项式。二、教学内容第一节引言与预备知识要点：最佳一致逼近与最佳平方逼近的概念。第二节最佳一致逼近多项式要点：最佳一致逼近多项式的定义，切比雪夫定理，最佳一次逼近多项式。第三节最佳平方逼近要点：内积空间，△最佳平方逼近多项式。第四节正交多项式要点：△○勒让德多项式，△○切比雪夫多项式。第五节函数按正交多项式展开要点：函数按正交多项式展开。第六节曲线拟合的最小二乘方法要点：△一般的最小二乘逼近，用正交函数作最小二乘拟合。第四章数值积分与数值微分一、教学基本要求1.掌握数值积分的基本思想，各类求积公式的构造方法。2.理解代数精度的概念及插值型求积公式的概念。3.掌握牛顿—柯特斯公式，了解其与高斯公式的异同。4.会利用外推原理提高计算精度。5.会利用待定系数法、正交多项式构造高斯公式。6.会利用插值法构造数值微分公式。二、教学内容第一节引言要点：数值积分的基本思想，代数精度、插值型求积公式的概念。第二节牛顿—柯特斯公式要点：△柯特斯系数，偶阶求积公式的代数精度，几种低阶求积公式的余项，复化求积法及其收敛性。第三节龙贝格算法要点：梯形法的递推化，龙贝格公式，△○龙贝格算法。第四节高斯公式要点：高斯点，△高斯—勒让德多项式，△高斯—切比雪夫多项式。第五节数值微分要点：中点方法，插值法型的求导公式。第五章常微分方程数值解法一、教学基本要求1．了解常微分方程数值解法的研究内容，掌握构成方法的基本思想及其各方法的异同点。2．掌握尤拉法、改进的尤拉法、隐式尤拉法和梯形方法的基本公式和构造。3．掌握龙格-库塔方法的基本思想，会进行二阶龙格-库塔方法的推导，能用四阶经典龙格-库塔公式求解微分方程。4．会求单步法的局部截断误差及方法的阶。5．了解单步法的收敛性与稳定性。6．了解线性多步法构造方法。二、教学内容第一节尤拉方法要点：△尤拉公式，△后退的尤拉公式，△梯形公式，△改进的尤拉公式。第二节龙格-库塔方法要点：○泰勒级数法，龙格-库塔方法的基本思想，△二阶龙格-库塔方法，四阶经典龙格-库塔公式。第三节单步法的收敛性和稳定性要点：单步法的收敛性与稳定性。第四节线性多步法要点：基于数值积分的构造方法，△基于泰勒展开的构造方法。第六章方程求根一、教学基本要求1.掌握用迭代法求方程近似根的基本思想；理解迭代过程的全局、局部收敛性定理并会判断迭代过程的收敛阶。2.二分法是求方程实根的一种大范围收敛的方法。若给定近似解的误差和二分区间，能预估二分次数。3.理解牛顿迭代公式是如何推导的，会用牛顿法求方程的近似根。4.了解弦截法与抛物线法。二、教学内容第一节根的搜索法要点：逐步搜索法，△二分法。第二节迭代法要点：△迭代过程的收敛性，迭代公式的加工。第三节牛顿法要点：△牛顿公式，牛顿法的局部收敛性，牛顿法应用举例。第四节弦截法与抛物线法要点：弦截法，抛物线法。第七章解线性方程组的直接方法一、教学基本要求1.对每一个方法，应弄清楚它的基本思想，适用范围，计算公式以及对于误差的估计。2.掌握高斯消去法及高斯列主元消去法，能用这两种方法求解方程组及计算矩阵的行列式。3.掌握杜利特尔分解法的唯一可分的充分条件，分解形式，计算次序和算法的稳定性。4.掌握对称正定矩阵的三角分解的分解形式，计算次序和算法的稳定性。5.会应用改进的平方根法与追赶法。6.掌握向量、矩阵范数和矩阵的条件数的定义，了解它们的性质，能利用条件数判别方程组是否病态以及对方程组的直接方法的误差进行估计。二、教学内容第一节高斯消去法要点：△高斯消去法，矩阵的三角分解，计算量。第二节高斯主元素消去法要点：高斯完全主元消去法，△高斯列主元消去法，高斯-若当消去法。第三节高斯消去法的变形要点：△杜利特尔分解，平方根法，改进的平方根法，追赶法。第四节向量和矩阵的范数要点：△向量范数，△矩阵范数。第五节误差分析要点：方程组的性态，△条件数。第八章解线性方程组的迭代法一、教学基本要求1.掌握雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法的计算分量形式、矩阵形式和它们的迭代矩阵表示式。2.会应用超松弛迭代法解线性方程组。3.理解迭代法收敛的充要条件，会用迭代阵的谱半径判明迭代法的收敛性。4.能用迭代阵的范数判别迭代法的收敛性。5.会根据方程组系数矩阵的严格对角优势性，判明雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代对任意初始向量的收敛性。6.掌握方程组的系数矩阵是对称正定阵时，高斯-塞德尔迭代法及松弛因子满足必要条件的超松弛迭代法对任意初始向量均收敛的结论。二、教学内容第一节迭代法的一般形式要点：迭代法的一般形式第二节几种常用的迭代法要点：△雅可比迭代法，△高斯-塞德尔迭代法，超松弛迭代法。第三节迭代法的收敛条件要点：△迭代法的收敛条件，△从系数矩阵判断的收敛条件第九章矩阵的特征值与特征向量计算一、教学基本要求1.掌握幂法与反幂法。2.了解雅可比方法，豪斯荷尔德方法与QR方法的基本思想。二、教学内容第一节引言要点：基本概念，圆盘定理。第二节幂法及反幂法要点：△幂法，加速方法，△反幂法。第三节雅可比方法要点：雅可比方法。第四节豪斯荷尔德方法与QR方法要点：豪斯荷尔德方法，QR方法。说明：大纲中教学内容带“△”号的为重点，带“〇”号的为难点，带“△〇”号的既是重点又是难点。制订者：信息与计算科学教研室执笔人：马红平制定日期：年月审核：数学科学学院教学委员会