概率论与数理统计课后习题及答案-高等教育出版社

1概率论与数理统计课后习题答案高等教育出版社习题1.1解答1.将一枚均匀的硬币抛两次，事件CBA,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件CBA,,中的样本点。解：(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）A(正，正)，（正，反）；B（正，正），（反，反）C(正，正)，（正，反），（反，正）2.在掷两颗骰子的试验中，事件DCBA,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件DCBABCCABAAB,,,,中的样本点。解：)6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1(；)1,3(),2,2(),3,1(),1,1(AB；)1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1(BA；CA；)2,2(),1,1(BC；)4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(DCBA3.以CBA,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用CBA,,表示以下事件：（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。解：（1）CBA；（2）CAB；（3）CBACBACBA；（4）BCACBACAB;（5）CBA；（6）CBA；（7）CBACBACBACBA或CBCABA（8）ABC；（9）CBA4.甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,AAA分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A,32AA,21AA,21AA,321AAA,313221AAAAAA.解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5.设事件CBA,,满足ABC，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：CBA，CAB，ACB.2解：如图：BCACBCABABBCACBACABACBCCABCABCBACBABCAABCCABCBACBACBA;;6.若事件CBA,,满足CBCA，试问BA是否成立？举例说明。解：不一定成立。例如：5,4,3A，3B，5,4C，那么，CBCA，但BA。7.对于事件CBA,,，试问CBACBA)()(是否成立？举例说明。解：不一定成立。例如：5,4,3A，6,5,4B，7,6C，那么3)(CBA，但是7,6,3)(CBA。8.设31)(AP，21)(BP，试就以下三种情况分别求)(ABP：（1）AB，（2）BA，（3）81)(ABP.解：（1）21)()()()(ABPBPABBPABP；（2）61)()()()(APBPABPABP；（3）838121)()()()(ABPBPABBPABP。CBACBACBAABCBCACABCBAABCCBA39.已知41)()()(CPBPAP，161)()(BCPACP，0)(ABP求事件CBA,,全不发生的概率。解：)(1)(CBAPCBAPCBAP=)()()()()()()(1ABCPBCPACPABPCPBPAP8301611610414141110.每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：A“三个都是红灯”=“全红”；B“全绿”；C“全黄”；D“无红”；E“无绿”；F“三次颜色相同”；G“颜色全不相同”；H“颜色不全相同”。解：271333111)()()(CPBPAP；278333222)()(EPDP；91271271271)(FP；92333!3)(GP；98911)(1)(FPHP.11.设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率；（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：一次拿3件：（1）0588.0310012298CCCP；（2）0594.031001982229812CCCCCP；每次拿一件，取后放回，拿3次：（1）0576.0310098232P；（2）0588.010098133P；每次拿一件，取后不放回，拿3次：（1）0588.03989910097982P；（2）0594.098991009697981P12.从9,,2,1,0中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：501与三个数字中不含A，502或三个数字中不含A。4解：157)(310381CCAP；15142)(31038392CCCAP或15141)(310182CCAP13.从9,,2,1,0中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。解：9041454102839PPPP14.一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：（1）6人中至少有1人生日在10月份；（2）6人中恰有4人生日在10月份；（3）6人中恰有4人生日在同一月份；解：（1）41.01211166P；（2）00061.012116246CP；（3）0073.012116246112CCP15.从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。解：602.03521392131431314CCCCCCP或602.0135211311311334CCCCCP5习题1.2解答1.假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令iA“取到的是i等品”，3,2,1i329.06.0)()()()()(3133131APAPAPAAPAAP。2.设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令A“两件中至少有一件不合格”，B“两件都不合格”511)(1)()()()|(2102621024CCCCAPBPAPABPABP3.为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求（1）两种报警系统I和II都有效的概率；（2）系统II失灵而系统I有效的概率；（3）在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。解：令A“系统（Ⅰ）有效”，B“系统（Ⅱ）有效”则85.0)|(,93.0)(,92.0)(ABPBPAP（1）)()()()(BAPBPBABPABP862.085.0)92.01(93.0)|()()(ABPAPBP（2）058.0862.092.0)()()()(ABPAPABAPABP（3）8286.093.01058.0)()()|(BPBAPBAP4.设1)(0AP，证明事件A与B独立的充要条件是)|()|(ABPABP证：：A与B独立，A与B也独立。)()|(),()|(BPABPBPABP)|()|(ABPABP：1)(01)(0APAP又)()()|(,)()()|(APBAPABPAPABPABP而由题设)()()()()|()|(APBAPAPABPABPABP6即)]()()[()()](1[ABPBPAPABPAP)()()(BPAPABP，故A与B独立。5.设事件A与B相互独立，两个事件只有A发生的概率与只有B发生的概率都是41，求)(AP和)(BP.解：41)()(BAPBAP，又A与B独立41)()](1[)()()(BPAPBPAPBAP41)](1)[()()()(BPAPBPAPBAP41)()(),()(2APAPBPAP即21)()(BPAP。6.证明若)(AP0，)(BP0，则有（1）当A与B独立时，A与B相容；（2）当A与B不相容时，A与B不独立。证明：0)(,0)(BPAP（1）因为A与B独立，所以0)()()(BPAPABP，A与B相容。（2）因为0)(ABP，而0)()(BPAP，)()()(BPAPABP，A与B不独立。7.已知事件CBA,,相互独立，求证BA与C也独立。证明：因为A、B、C相互独立，)(])[(BCACPCBAP)()()()]()()([)()()()()()()()()()(CPBAPCPABPBPAPCPBPAPCPBPCPAPABCPBCPACPBA与C独立。8.甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解：令321,,AAA分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么9.0)(,8.0)(,7.0)(321APAPAP令B表示最多有一台机床需要工人照顾，7那么)()(321321321321AAAAAAAAAAAAPBP902.01.08.07.08.02.07.09.08.03.09.08.07.0)()()()(321321321321AAAPAAAPAAAPAAAP9.如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为)10(pp，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。解：令A“系统（Ⅰ）正常工作”B“系统（Ⅱ）正常工作”iA“第i个元件正常工作”，ni2,,2,1niAAAPAP221,,,,)(相互独立。那么)()()(22121nnnnAAAAAAPAP)2(2)()()()()()(22121122122121nnnnniinniiniinnnnnPPPPAPAPAPAAAPAAAPAAAP)]())([()(22211nnnnAAAAAAPBPnnniniiniininiiniPPPPAPAPAPAPAAP)2(]2[)]()()()([)(121110.10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求（1）前三人中恰有一人中奖的概率；（2）第二人中奖的概率。解：令iA“第i个人中奖”，3,2,1i(1))(321321321AAAAAAAAAP注：利用第7题的方法可以证明)(iniAA与)(jnjAAji时独立。系统I12nn+1n+22n系统II1n+12n+2n2n8)()()(321321321AAAPAAAPAAAP)|()|()()|()|()()|()|()(213121213121213121AAAPAAPAPAAAPAAPAPAAAPAAPAP21859410684951068596104或213102