定积分的应用(体积,弧长,功)

元素法的步骤:1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba；2）设想把区间],[ba分成n个小区间，取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量U的近似值.如果U能近似地表示为],[ba上的一个连续函数在x处的值)(xf与dx的乘积，就把dxxf)(称为量U的元素且记作dU，即dxxfdU)(；3）以所求量U的元素dxxf)(为被积表达式，在区间],[ba上作定积分，得badxxfU)(，即为所求量U的积分表达式.,)(badxxfUy+dyyoyx)(yxdcdcdyyA)(dcxdy曲边梯形的面积:badxxfA)(xyo)(xfyabxxxbaydx曲边梯形的面积:★平面图形的面积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积★体积一般地，如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？取积分变量为x，],[bax在],[ba上任取小区间],[dxxx，取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，dxxfdV2)]([xdxxxyo旋转体的体积为dxxfVba2)]([)(xfybadxy2y例1连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线hx及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积．r解hPxhry取积分变量为x，],0[hx在],0[h上任取小区间],[dxxx，xo直线方程为OP以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为dxxhrdV2圆锥体的体积dxxhrVh20hxhr03223.32hryrhPxoxhry类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx、直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为xyo)(yxcddyy2)]([dcVdcdyx2解，此抛物线的方程为hyahx22:dyayhVaa2222)1(例2.,2得到的旋转体的体积旋转（如图），求由此边的正抛物线弓形绕其底高为底长为ha21516ahoxyABCha2得：由公式：dyxVaa2yox)0(22＞ppxy22pyx或例3.,12222积轴旋转所成旋转体的体绕求由椭圆xbyax解)(22222xaaby上半椭圆的方程为：dxyVaa2由公式知：dxxaabaa)(2222.342ab.34)(22222badyybbaVybb体积为轴旋转所成的旋转体的同理得椭圆绕解，如图，解方程组xyxy2101042dxxdxxV.152例4.2体积轴旋转所成的旋转体的绕所围成的平面图形和直线求xxyxy），），（，得曲线的交点为（1100oxyABC若绕y轴旋转呢？10102dyyydyVxy2xyxoab二、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表示过点x且垂直于x轴的截面面积，)(xA为x的已知连续函数,)(dxxAdV.)(badxxAV立体体积例6求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.解取坐标系如图底圆方程为,222RyxxyoRx垂直于x轴的截面为等腰三角形截面面积22)(xRhyhxA立体体积dxxRhVRR22.212hR例5设曲线弧为)(xfy)(bxa，其中)(xf在],[ba上有一阶连续导数xoyabxdxx取积分变量为x，在],[ba上任取小区间],[dxxx，以对应小切线段的长代替小弧段的长dy小切线段的长22)()(dydxdxy21弧长元素dxyds21弧长.12dxysba★平面曲线弧长的概念一、直角坐标情形例1计算曲线2332xy上相应于x从a到b的一段弧的长度.解,21xydxxds2)(121,1dxx所求弧长为dxxsba1].)1()1[(322323abab),0()(2＞求悬链线aaxacheeayaxax)(21)(411)(122axaxaxaxeeeeyaaaxaxaadxeedxys)(21)(12弧长).()(10eeadxeeaaxax例2).(如图这一段的弧长到从axax解oxy-aaa曲线弧为,)()(tytx)(t其中)(),(tt在],[上具有连续导数.22)()(dydxds222))](()([dtttdttt)()(22弧长.)()(22dttts二、参数方程情形例3求星形线323232ayx)0(a的全长.解星形线的参数方程为taytax33sincos)20(t根据对称性14ssdtyx20224dttta20cossin34.6a第一象限部分的弧长aaoyx曲线弧为)()(rr其中)(在],[上具有连续导数.sin)(cos)(ryrx)(22)()(dydxds,)()(22drr弧长.)()(22drrs三、极坐标情形解drrs)()(2202cos4da02daa2222sin)cos1(02ad)cos1(2例4).0()cos1(＞的弧长求心形线aar0]2sin2[4a.8a01x解设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf第一次锤击时所作的功为101)(dxxfw,2k例5用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第二次锤击时又将铁钉击入多少？hxx+dx设二次击入的总深度为厘米h依题意知，每次锤击所作的功相等．122ww2222kkh,2h解得：.12cm第二次击入的深度为.)(02hdxxfw二次锤击所作的总功为hkxdx022kh101)(dxxfw,2kxdxxxyo)(xfydxxfVba2)]([badxy2xyo)(yxcddyy2)]([dcVdcdyx2xoyabxdxxdy.12dxysbaxoab.)(badxxAV222)()()(dydxds小结作业：P152.5.(1)(3)8.9.