1高等数学典型例题与应用实例(重积分B部分)(1-3)

例利用二重积分的性质，估计积分2222(2)dDxyxy的值，其中D为半圆形区域224,0xyy．解我们先求函数2222(,)2fxyxyxy在区域22{(,)4,0}Dxyxyy上的最大值和最小值．由22220,420,xyfxxyfyxy解得D内驻点为(2,1)，(2,1)2f．在边界1:0Ly(22)x上，2()(,0)gxfxx在1L上(,)fxy的最大值为4，最小值为0．在边界222:4Lxy(0)y上，242()(,4)58(22)hxfxxxxx由3()4100hxxx得驻点123550,,22xxx，(0)(0,2)8hf．5537()(,)2224hf．综上，(,)fxy在D上的最大值为8，最小值为0．又D的面积为2，所以由二重积分的估值性质知222202(2)d82Dxyxy，即22220(2)d16Dxyxy．例设D为xoy平面上以(1,1),(1,1),(1,1)为顶点的三角形区域，1D为D在第一象限的部分，则(cossin)()Dxyxydxdy．（A）12cossinDxydxdy（B）12Dxydxdy（C）14(cossin)Dxyxydxdy（D）0解区域D如图所示，并记0D为以(1,1),(1,1),(0,0)为顶点的三角形区域，则0D关于y轴对称，且1D为0D在y轴右侧的部分区域，区域0DD关于x轴对称．又xy关于x和y均为奇函数；而cossinxy关于x为偶函数．关于y为奇函数，由二重积分的奇偶对称性得000,0DDDxydxdyxydxdy，故0Dxydxdy；010cossin2cossin,cossin0DDDDxydxdyxydxdyxydxdy，故1cossin2cossinDDxydxdyxydxdy．所以1(cossin)cossin2cossinDDDDxyxydxdyxydxdyxydxdyxydxdy．因此我们选（A）．例设区域}0,0,4),{(22yxyxyxD，()fx为D上的正值连续函数，,ab为常数，则()()()()Dafxbfydfxfy．解由题意知，D关于直线yx对称，由二重积分轮换对称性得()()()()Dafxbfydfxfy()()()()Dafybfxdfyfx()()()()1[]2()()()()Dafxbfyafybfxdfxfyfyfx211()π2π22242DDababababdd．因此，我们应填“π2ab．”例计算二次积分220sinxydxdyy解积分区域如图，则原式200sinyydydxy2200sinsinsinydyydyydy4；例设D为椭圆区域22(1)(2)149xy，计算二重积分()Dxydxdy．解令12cos,23sin,xryr则D的极坐标表示为01,02r，且(,)6(,)xyrr．由式(10.2.8)，可得2100()6(32cos3sin)Dxydxdydrrrdr20326(cossin)1823d．例计算二重积分Dyxyxdd)(，其中D为.122yxyx解解法1D的边界曲线为,2/3212122yx这是一个以21,21为圆心，23为半径的圆域，采用一般的变量代换，令,21,21yvxu即作变换,21,21vyux于是D变为.2/3:22vuD.11001),(),(vuyxJ所以，()dd(1)1ddDDxyxyuvuv（再用极坐标）.23023dd)cos(sinddd)1sincos(d222/30202/3020rrrrrrrrD解法2由于积分区域D：23212122yx关于21x（即)021x对称，故Dyxx.0dd21类似地，由于D关于02121yy即对称，故Dyxy.0dd21从而.2323dddd1dd21dd21dd)(2面积DyxyxyxyyxxyxyxDDDDD例计算yxeIDyxdd},max{22，其中，}10,10|),{(yxyxD解D由xy分为D2，D2两部分，如图.1,10:,0,10:,21},max{2222yxxDexyxDeeyxyxxeyyexyxeyxeIyyxxDyDxdddddddd01001022221221010010dd2dd2222xexxeyexxxxx.1102eex例利用二重积分计算定积分10(,0)lnbaxxIdxabx解因为1lnlnbbabttaaxxxdtxxx所以babababattabtdttdxxdtdxdtxI11ln)1ln(11)(1010例],[)(baxf为上的连续函数，且0)(xf，试利用二重积分证明.)()(1d)(2abxfxxfbaba证因为xxfyyfxxfxxfbabababad)(1d)(d)(1d)(,dd)()(dd)()(yxyfxfyxxfyfDD其中所以},,|),{(byabxayxDDDbabayxyfxfyxxfyfxxfxxfdd)()(dd)()(d)(1d)(2yxyfxfyfxfyxyfxfxfyfDDdd)()()()(dd)()()()(22,)(2dd22abyxD亦即.)(d)(1d)(2abxxfxxfbaba例计算10d)(xxxf，其中21dint)(xttSxf解当10,102xx时111222,dsindsindsin)(xxxyyyyyytttxf从而xyyyxxxxfxddsind)(101102图yxyyxyyyxxxDddsindsind1102，其中D曲线1,2yxy，和0x所围成，如图10-8。改变积分顺序，则)11(cos21cos21dsin21d2sindsindddsin10101002100yyyyxyyxyyxyyxyyxyyD原积分例设二元函数，.2||||111||||),(222yxyxyxxyxf计算DdyxfI),(，其中}.2||||),{(yxyxD解：由区域的对称性和被积函数的奇偶性、有DDdyxfdyxf1),(4),(其中，D1为D位于第一象限部分，D1由1yx分成两部分：}10,10|),{(11xxyyxD图}.0,0,21|),{(12yxyxyxD12111dd1dd),(222DDDyxyxyxxdyxf因为11102102102121d)1(ddddDxxxxyxxyxx20sincos2sincos12022)12ln(2dcossin1dddd112ryxyxD所以).12ln(2431)12ln(21214d),(Dyxf例求ninjnnjnin112.2cos1lim解设平面区域D：,10,10yx则二元函数yxyxf2cos),(在D上连续，二重积分Dyxyxfdd),(存在，用平行于x轴和y轴的两组平行线把D分成n2个全等的正方形，如图，取,1,,2nniniijii则.2cos112cos),(22njninnnjnifijii故ninjDnyxyxnjnin112dd2cos2cos1lim1010.34d2cosdyyxx图例设)(uf有一阶导数且,9)0(,0)0(ff求yxyxfttyxtdd)(1lim2230222。解采用极坐标，令,sin,cosryrx于是原式=.d)(d1limdd)(1lim0203030tttrtrrrftrrrft.6)0(320)0()(lim32)(lim323)(lim2d)(lim20020300ftftfttftttftrrrfttttt例设半径为R的球面Σ的球心的定球面)0(2222aazyx上，问当R取什么值时，球面Σ在定球面内部的那部分的面积最大。解根据题意不妨设球面Σ的方程为2222)(Razyx，则两球面的交线在xOy面投影.0,42222zaRyx记Σ1为Σ在定球面的部分，则Σ1在xOy面投影区域D为)4(4222222RaaRyx.Σ1的方程222yxRaz，则Σ1的面积图.2ddddd1)(3222420202222222aRRrrRRrdyxyxRRyxzzRSRaaRDDyxS为R的函数，下面求S的最大值。.64)(,34)(2aRRSaRRRS令0)(RS，得驻点0,3421RaR（舍去）。又,0434aS因此aS34为极大值，即为最大值，故当aR34时，球面Σ在定球面内的部分的面积最大。例设薄片所点区域D是介于两个圆)0(cos,cosbabrra之间的区域，各点处的面密度等于该点到原点的距离，求这薄片的质心。解区域D如图所示，.),(,),(22Dyxyxyx由对称性知.0y薄片的质量),(94dcos)(312d.dd3333320cos0cos2222aaabrrrdyxyxMbaDrrrdyxyxxMbaDydcosdd2cos0cos2222),(154dcos)(4124454420abab所以，.533344ababMMxy所以薄片的质心坐标.0,533344abab例求由抛物线2xy及直线1y所围成的薄片（面密度为常数)0对于直线1y的惯性矩。解设D为平面薄片所占据的xOy平面上的区域如图，D内任一点（x,y）到直线y=-1的距离平方d2=(y+1)2,故所求惯性矩为11120202d)1(ddd)1(xDyyxyxyI011320105368d)1(3138xx例计算zyxyxddd)(22，其中是由曲面zyx222与平面z=2所围成的区域。解从.2,222zzyx中消去z，得投影柱面方程422yx，在xOy平面上的投影区域D为：422yx。采用柱面坐标，可表示为：.22,20,202zrr从而.316222.dddddd)(2320222