积分变换第3讲

1积分变换第3讲2傅氏变换的性质3这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙述方便起见,假定在这些性质中,凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件,在证明这些性质时,不再重述这些条件.4线性性质设F1(w)=F[f1(t)],F2(w)=F[f2(t)],a,b是常数,则F[af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w)(1.13)这个性质的作用是很显然的,它表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线性组合.它的证明只需根据定义就可推出.同样,傅氏逆变换亦具有类似的线性性质,即F-1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t)(1.14)52.位移性质)15.1()]([)]([00tfettftjFFwtjtuttuttfFtfuufuufutttttfttf0000e)()]([)]([ede)(ede)()(de)()]([01jjj)(j0j00-------FFF同理有令证傅氏变换由的定义,可知6微分性质如果f(t)在(-,+)上连续或只有有限个可去间断点,且当|t|+时,f(t)0,则F[f'(t)]=jwF[f(t)].(1.17)证由傅氏变换的定义,并利用分部积分可得)]([jde)(je)(de)()]([jjjtfttftfttftftttFF------推论F[f(n)(t)]=(jw)nF[f(t)].(1.18)7同样,我们还能得到象函数的导数公式,设F[f(t)]=F(w),则)]([j)()(dd,)].(j[)(ddtftFttfFnnnnFF--本书中的积分的记号有不严格的写法,即()d()d,()d()dededeeedd()d()d()ddttttttttuuttttfttfuufttfuutuefttfuufttt-----------的意思其实是即我们看到时必须将它理解为例如且有94.积分性质,()()d01()d[()].(1.19)jd()d(),d[()]j()dtttttgtfttfttftfttfttftfttww----如果当时则因为证FFFF10例2求微分积分方程()()()d()taxtbxtcxttht-()()()()j()()jcajXbXXHHXcba-的解,其中-t+,a,b,c均为常数.根据傅氏变换的微分性质和积分性质,且记F[x(t)]=X(w),F[h(t)]=H(w).在方程两边取傅氏变换,可得11运用傅氏变换的线性性质,微分性质以及积分性质,可以把线性常系数微分方程转化为代数方程,通过解代数方程与求傅氏逆变换,就可以得到此微分方程的解.另外,傅氏变换还是求解数学物理方程的方法之一.12此外还有[()](),:[()]2():1[()](0)||:[()]()ftFFtffatFaaaftFw---若则还成立对称性质相似性质翻转性质FFFF13性质小结:若F[f(t)]=F(w),F[g(t)]=G(w))()(:||1)0()(:)(2)(:)(1d)(:)()(:)()(e)()(:)()()()(:0j000------FtfaFaaatfftFFjttfFjtfFetfFttfGFtgtfttjt翻转相似对称积分导数位移线性14乘积定理若F(w)=F[f(t)],G(w)=F[g(t)],则jj1()()d()()d(1.20)2()()d1()()edd21()()edd21()()d2ttftgttFGftgttftGtGfttGFwwww--------证15能量积分若F(w)=F[f(t)],则有221()d()(1.21)2fttFdww--2221()d()()d211()d()d22()().fttFFFSSFww----其中称为能量谱密度函数这一等式又称为帕塞瓦尔(Parserval)等式证在(1.20)式中,令f(t)=g(t),则162221221sind()1/2||1;sin(),()0sin1d2()d2d43xxxfttFftftttw----求假设的傅氏例解变换为则其它则17实际上,只要记住下面四个傅里叶变换,则所有的傅里叶变换都无须从公式直接推导而从傅里叶变换的性质就可导出.bwbbbwbww422eej1)()(j1)(1)(---ttetutut18注意第一类间断点处的求导数,首先有)(d)(d)(d)(d,d)()(00tttttutttutttut---同理有因此(t)u(t)ttOO19a假设函数f(t)在t0处有一个上升了a的第一类间断点,则f(t)可以分为在此处连续的一个函数f1(t)加上au(t-t0)a=+tt0t0t0ttf(t)f1(t)au(t-t0)20例求方波的傅氏变换t/2-t/2Etf(t)t/2-t/2Etf'(t)-E||2()0Etftt其它21推导过程为0j0jj22()1()e()()()22ee2sin22()sinsinc22ttttftEtEtEjEEFEwttwwttwtwtwtwtw------22习题二14题求如图所示的频谱函数t/2-t/2AOtf(t)t/2-t/2aOtf'(t)t/2-t/2aOtf''(t)a-2a-a2/2AAatt23因此有jj2222()()2()()22e2e2cos222()cos1()241cos2ftatatataaaaaaFjAwtwtttwtwt------24习题二,2.(1)-1011)(222ttttftOf(t)1-1tOf'(t)1-12-225f(t)的二阶导和三阶导如下图:tOf''(t)1-12-2tOf'''(t)1-12-226因此有jjjj33()2(1)2(1)2(1)2(1)2jejeee4jcosjsin4()jcosjsin(j)sincos4ftttttF-------则27习题二2.(2)j2j2j2j2()()esin21()()e()1jee()()sin2()2j11()e()e2j2jttttttftuttgtutGftgttgtgtgtww------令则28-------)2j(11)2j(11j21)()2j(11)2(e)()2j(11)2(e)(e)(j21e)(j21)(2j2j2j2j)5()2j5(2j2524)j1(2)2jj1j)(2j1()2j(1)2j(12j)2j(11)2j(11j21)(--------------F30习题二2.(3)-1-111f(t)tO-121f'(t)tO-1-131因此jj()(1)2()(1)e2e22cos22cos1cos()j2jfttttFww---------则32习题二3.(1)f(t)=e-b|t|(b0)令g(t)=u(t)e-bt,则f(t)=g(t)+g(-t)tg(t)tg(-t)tf(t)OOO33因此有221()()j1()()j()()()112()jjgtGgtGftgtgtFwbwwbwbwbwbwbw-----34习题二3.(2)f(t)=e-|t|cost||2jjjj2()e()1ee()()cos()21()e()e21()(1)(1)2tttttgtGftgttgtgtgtFGG-令则354424)2(42)22)(22(24)1(12)1(1221)(12)(e)(422222222222||----(3)jjjjsin||1||()()0||0||()()2sincee()()sin()2jj()e()e2j()(1)(1)2tttttttftgtttgtGftgttgtgtgtFGGw------令则371sin2j1111)sin(j)1()sin()1()sin(jsinc2sinc22j)1()1(2j)(sinc2)()(2------------wwwwwwwwwwGGFGtg38习题二4题1||01||2/1)(211,1,2,21,2||02||)()(,sincsin)(tttfEEttEtftfF即得再由得而必是一个方波函数则tttttt(w)=[(w+w0)+(w-w0)]0000j0j0jj0()112()e2()e2()1()eecos2tttttfttwww-40习题二6f(t)=sgntwwj2)(2)(2)(Fttf1-1tf(t)2tf'(t)OO41习题二7.2coscoseeee21)(e)(,1)(22)()(21)(2j2jjjj00aaFtttatatatattfaaaat------42习题二8.f(t)=costsintjjjjj2j2j2j21cossineeee4j1ee4j12(),e2(2)e2(2)()(2)(2)2jttttttttttFwwwwww---------43习题二9.f(t)=sin3t033jjj3jjj3j01sinee8jje3e3ee8e2()j()[(3)(3)43(1)3(1)]ttttttttFwwwwwwww------------由44习题二13.周期为T的函数f(t)可表示为jj0()ee2()()2()2()nntnntnnnnnnftcFccnwwwwww------因