中考求阴影部分面积

1中考求阴影部分面积【知识概述】计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。现介绍几种常用的方法。一、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。例1.如图1，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC、AD和CD⌒围成的阴影部分图形的面积为_________。分析：连结CD、OC、OD，如图2。易证AB//CD，则ACDOCD和的面积相等，所以图中阴影部分的面积就等于扇形OCD的面积。易得COD60，故SSOCD阴影扇形60636062。例2、如图，A是半径为1的⊙O外的一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于_______．分析：一个图形的面积不易或难以求出时，可改求与其面积相等的图形面积，便可以使原来不规则的图形转化为规则图形。解：连结OB、OC．∵BC∥OA，∴S△ABC=S△OBC，∴S阴影=S扇形OBC．∵AB是⊙O的切线，∴∠BOA=90°，∵OB=1，OA=2，∴∠OBC=∠BOA=60°，∴∠BOC=，∴扇形OBC是圆的．2∴S阴影=S扇形OBC=二、和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。例3.如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，ADE⌒为14圆，求阴影部分面积。分析：经观察图3可以分解出以下规则图形：矩形ABCD、扇形ADE、RtEBC。所以，SSSSADEABCDRtEBC阴影扇形矩形9043604812412482。三、重叠法就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。例4.如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。解：因为4个半圆覆盖了正方形，而且阴影部分重叠了两次，所以阴影部分的面积等于4个半圆的面积和与正方形面积的差。故Saaa阴影2221222()()。代数法:析解:设每片叶形面积为x,每个空白部分的面积为y,由面积关系列出方程组:2212122442axyxya142得22142xaa，所以2212Saa阴影四、补形法将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。3例5.如图5，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，ABD60，90，求四边形ABCD所在阴影部分的面积。解：延长BC、AD，交于点E，因为AB6090，，所以E30，又EDCCECDDE9023，所以，，易求得BE23，所以SSSABBECDDEABECDE阴影1212332。例2.(南充市)如图2，PA切圆O于A，OP交圆O于B，且PB=1，PA=3，则阴影部分的面积S=____________．析解:将图中阴影部分补上扇形OAB,得RtPAO由勾股定理可得1OAOBcm,解RtPAO可得60AOP,所以21601132360RtPAOOABSSS阴影扇形326五、拼接法例6.如图6，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。解：（1）将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；（2）将左侧的草地向右平移c个单位；（3）得到一个新的矩形（如图7）。由于新矩形的纵向宽仍然为b，水平方向的长变成了()ac，所以草地的面积为bacabbc()。六、特殊位置法例7.如图8，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_______。图24分析：在大半圆中，任意移动小半圆的位置，阴影部分面积都保持不变，所以可将小半圆移动至两个半圆同圆心位置（如图9）。解：移动小半圆至两半圆同圆心位置，如图9。设切点为H，连结OH、OB，由垂径定理，知BHAB122。又AB切小半圆于点H，故OHAB，故OBOH22BH24SOBOHOBOH阴影12121222222()七、代数法将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。例8.如图10，正方形的边长为a，分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画弧，求图中阴影部分的面积。解：设阴影部分的面积为x，剩下的两块形状、大小相同的每块面积为y，则图中正方形的面积是xy2，而xy是以半径为a的圆面积的14。故有xya22，xya42。解得xa()212。即阴影部分的面积是()212a。需要说明的是，在求阴影部分图形的面积问题时，要具体问题具体分析，从而选取一种合理、简捷的方法。八、整体求解法例9:(广东韶关市)如右图12，A，B，C，D相互外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD，则图中四个扇形（阴影部分）的面积之和等于_____．（结果保留π）析解:如果想将图中四个扇形的面积分别求出,显然是不可能的,因此应考虑将四个扇形的面积整体求解,因为四边形的内角和为360,从而可知所求阴影部分的面积可以组成一个圆的面积,所以21S四个扇形5阴影部分面积练习1、如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH=21DC．若AB=10，BC=12,则图中阴影部分面积为．2、如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是．3、如图，扇形OAB，∠AOB=90，⊙P与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切于点C，则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是．4、如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的⌒EF上，若OA=1，∠1=∠2，则扇形OEF的面积为．5、如下图，AC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果AO=65cm，CO=15cm，当AC绕点O旋转90°时，则刮雨刷AC扫过的面积为_________cm2．6、如图，AB是⊙O1的直径，AO1是⊙O2的直径，弦MN∥AB，且MN与⊙O2相切于C点，若⊙O1的半径为2，则O1B、BN⌒、NC与CO1⌒所围成的阴影部分的面积是．EFOABC21ABOC第7题图O1O2（第1题）HGFEDCBA67、将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（AB）对应的中心角（∠AOB）为120º，AO的长为4cm，则图中阴影部分的面积为（）A．16(2)3cm2B．8(2)3cm2C．16(23)3cm2D．8(23)3cm28、如图，直径AB为6的半径，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点'B，则图中阴影部分的面积是（）（A）6（B）5（C）4（D）39、如图，在△ABC中，AB=AC，AB=8，BC=12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（）A．64127B．1632C．16247D．1612710、如图3，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，则阴影面积占圆面积：（）A．12B．14C．16D．1811、如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于E．则直线CD与⊙O的位置关系是，阴影部分面积为．(结果保留π)12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）13、如图．矩形ABCD中,AB=1，AD=2.以AD的长为半径的⊙A交BC边于点E，则图中阴影部分的面积为.（第8题图）第9题图ABCCAB12题图713题14.如图，在半径为5，圆心角等于450的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在AB上，则阴影部分的面积为（结果保留）.15、如下图，等腰Rt△ABC的直角边长为4，以A为圆心，直角边AB为半径作弧BC1，交斜边AC于点C1，ABBC11于点B1，设弧BC1，11BC，B1B围成的阴影部分的面积为S1，然后以A为圆心，AB1为半径作弧B1C2，交斜边AC于点C2，ABBC22于点B2，设弧B1C2，22BC，B2B1围成的阴影部分的面积为S2，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积S3=.16、如上图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB。（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留）17、如下图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O1的直径，半圆O2过C点且与半圆O1相切，则图中阴影部分的面积是A．2367aB．2365aC．2367aD．2365aO2O1APBC818、如图，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为（）A.13B.63C.33D.4319、小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略不计)，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是.2\设AC与DM的交点为G,∵△AMG和△CDG相似，AM=CD、2∴S△AMG=1/12∵S阴影=S△ADM+S△ACM-2S△AMG∴S阴影=1/4+1/4-2/12=1/3因此图中的阴影部分的面积是1/33解：设圆P的半径为r,连OC,PE则OC经过点P,且OC平分∠AOB,所以在等腰直角三角形OPE中，PE=r,OP=√2r,所以圆O的半径为OP+PC=√2r+r所以扇形OAB的面积=π(√2r+r)^2/4=(3+2√2)πr^2/4圆P的面积=πr^2所以扇形OAB的面积与○P的面积比=(3+2√2)πr^2/4：πr^2=(3+2√2)/44\连接OB∵OB为半径∴OB=OC=BC=124cm(第19题)9∴∠OCB=∠A=60°∴∠COA=120°又∵∠1=∠2∴∠EOF=∠COA=120°S扇形OEF=1/3π5\三角形AOC与三角形A′OC′全等，故刮雨刷AC扫过的面积等于扇形AOA′的面积-扇形COC′的面积．∵OA=OA′，OC=OC′，AC=AC′∴△AOC≌△A′OC′刮雨刷AC扫过的面积=大扇形AOA′的面积-小扇形COC′的面积刮雨刷AC扫过的面积=90π×(65^2-15^2)/360=1000πcm26\边接O1N，O2C,S=S(三角形BO1N)+S(梯形CO2O1N)-S(1/4小圆10\ON=rAB=sqrt(2)r大阴影面积=ON*AB/2=sqrt(2)r^2/2DN为45度弦，小阴影面积=2(45/360pi*r^2-r^2*sin22.5cos22.5)=(pi/4-sqrt(2)/2)r^2阴影面积=以上两个相加=pi/4r^2=1/4圆的面积