数值分析试题与答案

试题__2009___年~__2010___年第一学期课程名称：数值分析专业年级：2009级（研究生）考生学号：考生姓名：试卷类型：A卷√B卷□考试方式:开卷√闭卷□………………………………………………………………………………………………………一.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,xxx，其对应的函数yfx的值分别为012,,yyy，则二次拉格朗日插值基函数0()lx为。2.设2fxx，则fx关于节点0120,1,3xxx的二阶向前差分为。3.设110111011A，233x，则1A＝，1x。4.1n个节点的高斯求积公式的代数精确度为。二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1.哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2.什么是不动点迭代法？x满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于x的不动点？3.设n阶矩阵A具有n个特征值且满足123n，请简单说明求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。三．求一个次数不高于3的多项式3Px，满足下列插值条件：ix123iy2412iy3并估计误差。（10分）四．试用1,2,4n的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011Idxx。（10分）五．用Newton法求()cos0fxxx的近似解。（10分）六．试用Doolittle分解法求解方程组：12325610413191963630xxx（10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530xxxxxxxxx的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)yyyy考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）《数值分析》（A）卷标准答案（2009－2010－1）一．填空题（每小题3分，共12分）1.1200102()()()()xxxxlxxxxx；2.7；3.3，8；4.2n+1。二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1.解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。（4分）对于对称正定阵A，从21iiiikkal可知对任意ki有||ikiila。即L的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。（4分）2.解：（1）若**xx，则称*x为函数x的不动点。（2分）（2）x必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于x的不动点：1）x是在其定义域内是连续函数；（2分）2）x的值域是定义域的子集；（2分）3）x在其定义域内满足李普希兹条件。（2分）3.解：参照幂法求解主特征值的流程（8分）步1：输入矩阵A，初始向量v0，误差限，最大迭代次数N;步2：置k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞;步3：计算vk=Auk-1;步4：计算并置mk:=[vk]r,uk:=vk/mk;步5：若|mk-μ|，计算，输出mk,uk；否则，转6；步6：若kN,置k:=k+1,μ:=mk，转3；否则输出计算失败信息，停止三．解：（1）利用插值法加待定系数法：设2px满足22212,24,312,ppp则22376,pxxx（3分）再设32123pxpxKxxx（3分）2K（1分）32329156pxxxx（1分）（2）24311234!Rxfxxx（2分）四．解：应用梯形公式得11012IIff（2分）0.75（1分）应用辛普森公式得：21104162IIfff（2分）0.69444444（1分）应用科特斯公式得：41113703212327190424IIfffff（2分）0.6931746（2分）五．解：由零点定理，cos0xx在(0,)2内有根。（2分）由牛顿迭代格式1cos0,1,......1sinnnnnnxxxxnx（4分）取04x得，1max;kkriinvv12340.73936133;0.7390851780.7390851330.739085133xxxx（3分）故取*40.739085133xx（1分）六．解：对系数矩阵做三角分解：11121321222331323325610041319106361uuuluullu（2分）125621373414ALU（4分）若Lyb，则12310,1,4yyy；（2分）若Uxy，则(3,2,1)Tx。（2分）七．解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为00.50.51010.50.50B（2分）其特征多项式为2det()1.25IB，且特征值为1230,1.25,1.25ii（2分）故有1.251B，因而雅可比迭代法不收敛。（1分）（2）对于方程组，Gauss-Seidel迭代法迭代矩阵为00.50.500.50.5000.5B（2分）其特征值为1230,0.5（2分）故有0.51B，因而雅可比迭代法收敛。（1分）八．证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）1.证：该问题的精确解为0()xyxye（2分）欧拉公式为1(1)iiiiyyhyhy（2分）对任意固定的ixxih，有/1/00(1)[(1)]iixhxhiyyhyh，（2分）则0()ixiyeyx（1分）2.证：牛顿迭代格式为125,0,1,2,66nnnxaxnx（3分）因迭代函数为25,66xaxx而35,63axx又*3xa，（2分）则333510623aaa。故此迭代格式是线性收敛的。（2分）《数值分析》参考解答三．计算题（每小题7分，共42分）：1.设xexf)(,试构造基函数求)(xf的2次插值多项式)(2xP,满足:)1()1(),0(')0('),0()0(222fPfPfP.解设)(2xP的基函数为)(),(),(010xxx，则它们满足下列关系（1分）x01x0)(2xP1e)('2xP1)(0x10)('0x0)(1x01)('1x0)(0x00)('0x1（2分）(1)令00200)(cxbxax，则有0)0(0)1(1)0(0'0000000bcbac,即1,0,1000cba.所以1)(20xx.或由0)1(0，先得))(1()(0lkxxx.再由1)0(0，得1l，即1l.由1)0(0，得0kl，即1lk.所以1)1)(1()(20xxxx.（1分）(2)令11211)(cxbxax，则有0)0(1)1(0)0(1'1111111bcbac,即0,0,1111cba.所以21)(xx.或由0)0()0(11,先得21)(kxx.再由1)1(1，得1k.所以21)(xx.（1分）(3)令22220)(cxbxax，则有1)0(0)1(0)0(2'0222020bcbac，即0,1,1222cba.所以xxx20)(或由0)1()0(00,先得)1()(0xkxx.再由1)0(0，得1k，即1k.所以xxxxx20)1()(（1分）最后得1)2()()0()()1()()0()(20'102xxexfxfxfxP.（1分）2.求xxxxf2323)(在区间[-1,1]上的２次最佳一致逼近多项式;解设所求的2次最佳一致逼近多项式为)(*2xP.令)]()([31)(*2xPxfxQ.（2分）则)(xQ的首项系数为1,并且当)(21)]()([31)(32*2xTxPxfxQ时,)(xQ与0的偏差最小,即)(xf与)(*2xP的偏差最小.（2分）因为]1,1[上的3次切比雪夫Chebyshev多项式为xxxT34)(33.（1分）所以xxxxxxxxTxfxP4132)493(23)(43)()(23233*2.（2分）3．利用龙贝格公式计算定积分(计算到1R即可)：71.2dxx解]7,1[,2)(xxxf，16)]7()1([2)1(71ffT,（1分）94428.16548)3(282112fTT,22774.17)73(247214.8)]5()1([242124ffTT,)]6()4()2()0([222148ffffTT30599.17862261387.8,（2分）25904.173134121TTS,32223.173134242TTS,33207.173134484TTS,（2分）32644.171511516121SSC,33273.171511516242SSC,33283.176316364121CCR.(2分)4．利用改进的尤拉方法求解常微分方程初值问题：（要求取步长2.0h计算）解令xyyxf),(，则改进的尤拉公式为：))],(,(),([21nnnnnnnnyxhfyhxfyxfhyy（2分）22)2(2)2(12hxhhyhhnn.（2分)取2.0h得，02.022.022.11nnnxyy.（1分)计算结果如下：xy111.21.461.42.06521.62.84754（2分)5．用牛顿法求方程023)(3xxxf在30x附近的根（只要求迭代２步）。解牛顿迭代公式为：)()('1nnnnxfxfxx（2分))1(322nnnnxxxx.（2分)取迭代初值为30x，则迭代结果如下表所示：.1)1()6.11(yxxyyTSCRn=11617.2590417.3264417.33283n=216.9442817.3222317.33273n=417.2277417.33207n=817.30599（3分）6．写出解如下线性方程组的高斯－塞德尔迭代公式，并讨论其收敛性。如果不收敛，则应怎样处理才能得到收敛的高斯－塞德尔迭代公式？.123,0322121xxxx解2332A,2002D,0030L,0300U,10b.（1分）则112020132324DL,（1分）得12003061132000944GDLU,（1分）1200011321244fDLb,（1分）1600419024kkkXGXfX为高斯-塞德尔迭代公式.（1分）这时G的2个特征值为129,04,故1G，迭代法不收敛.（