基本不等式第一课时公开课课件

基本不等式(一)2abab武汉睿升学校情景设置欣赏体会丰富自我ICM2002会标如图，这是在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。赵爽弦图是由四个全等的直角三角形所组成，你能找出一些相等关系或不等关系吗？赵爽弦图ICM2002InternationalCongressofMathematiciansBejingAugust20-28,2002ADCBHFGE22+abab22ab2ab222SabSab四个三角形大正方形ADBCEFGHba22ab重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab如何证明?思考：你能给出不等式的证明吗？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以≥222.abab所以≥时当ba时当ba222abab≥证明：（作差法）2)(ba当且仅当a=b时等号成立ADCBHFGEb新课探究aba如果a＞0，b＞0我们用、，代替上式中可得abab、,2abab这个不等式又如何证明？只要证a+b（2）要证（2），只要证a+b-0（3）要证（3），只要证（-）20（4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。我们一起来分析一下：要证2abab（1）从不等式的性质推导基本不等式2abab2ab2abab2(0,0)2ababab通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.在数学中，我们把2ba叫做正数a，b的算术平均数ab叫做正数a，b的几何平均数。两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?Rt△ACD∽Rt△DCB，BCDC所以DCAC2DCBCACab所以ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.2abab≥几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab演示2ba剖析公式应用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.⑴a、b是两个正数.⑵当且仅当a=b时“＝”号成立’2、正用、逆用，注意成立的条件3、变形用1、基本不等式可以叙述为:从数列的角度来看：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项22baababba2例1:.8))()((,,,.1abcaccbbacba求证都是正数已知证明:,02abba,02acac,02bccb.88))()((abccabcabaccbba.2,,.2yxxyRyx求证已知Ryx,,,Ryxxy22yxxyyxxy证明:1、已知a0,b0,求证.4)11)((baba变式训练:2、已知a、b、c为两两不相等的实数，求证acbcabcba222222abab≥2abab≥a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra0,b0小结：