2010年湖南高考数学理科试卷带详解

2010年高考理科数学试题湖南卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,2,3,2,3,4MN，则（）A．MNB.NMC.{2,3}MND.{1,4}MN【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】直接给出两个集合先通过交、并、补集运算得出两个集合之间的关系，得出正确结论.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】∵{1,2,3}M,{2,3,4}N,∴{2,3}MN，故选C．2.下列命题中的假命题是（）A．xR,120xB.*xN,2(1)0xC．xR,lg1xD.xR,tan2x【测量目标】全称量词与存在量词.【考查方式】给出含有全称量词与存在量词的命题，判断真假得出结论.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】易知A、C、D都对，而对于B，当1x时，有2(1)0x，不对，故选B．3.极坐标方程cos和参数方程123xtyt（t为参数）所表示的图形分别是（）A.圆、直线B.直线、圆C.圆、圆D.直线、直线【测量目标】极坐标方程和参数方程与普通方程的互化.【考查方式】给出极坐标方程与参数方程先转化为普通方程再判断其表示的图形.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由极坐标方程cos可得222cos,0xyx表示的是圆；由参数方程1,23xtyt推得直线310xy，故选A．4.在RtABC△中，=904CAC，，则ABACuuuruuurg等于()A.16B.8C.8D.16【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.【考查方式】在三角形中通过向量数量积的定义运算求解三角形两条边的数量积.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】2||||cos||16ABACABACBACAC，故选D．5.421dxx等于（）A.2ln2B.2ln2C.ln2D.ln2【测量目标】定积分的运算.【考查方式】直接给出定积分的式子求值.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】由微积分易知，1(ln)xxQ，421ln4ln2ln2dxx，故选D．6.在ABC△中，角,,ABC所对的边长分别为,,abc，若120C，2ca,则()A.abB.abC.abD.a与b的大小关系不能确定【测量目标】余弦定理.【考查方式】给出三角形中一个角和两条边的关系运用余弦定理判断选项的正误.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由余弦定理得2222222cos2cababCaabab，则有22abab，而ABC△的边长,ab均大于零，因而有ab，故选A．7.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A.10B.11C.12D.15【测量目标】排列组合.【考查方式】给出一个实际问题运用排列组合的相关知识求解.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】易知数字0和1无限制排列时有4216种；与信息0110四个对应位置上的数字都相同的只有１个:0110；三个相同的有４个，分别为：0111,0100,0010,1110,由间接法可得符合条件的有4342C1=11个，故选B．8．用min{,}ab表示,ab两数中的最小值．若函数()min{||,||}fxxxt的图像关于直线12x对称，则t的值为（）A．2B．2C．1D．1【测量目标】函数图像的性质.【考查方式】给出函数,画出其图像，通过对其图像的判断求解未知参数.【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】本题考查了数形结合思想的运用.画出图形，知对称轴为122tx，因此1t，选D.第8题图二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上.9．已知一种材料的最佳入量在110g到210g之间.若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是g【测量目标】黄金分割点.【考查方式】运用黄金分割点的相关性质解决实际问题.【难易程度】容易【参考答案】171.8g或148.2g【试题解析】由0.618法求得第一次试点的加入量为1101000.618171.8g或2101000.618148.2g10．如图所示，过O外一点P作一条直线与O交于,AB两点．已知PA=2，点P到O的切线长PT=4，则弦AB的长为．第10题图【测量目标】切割线定理.【考查方式】运用切割线定理求解圆中的弦的长度.【难易程度】中等【参考答案】6【试题解析】由切割线定理知2PTPAPB，得PB=8,因此，AB=6.11．在区间[1,2]上随机取一个数x，则||1x„的概率为．【测量目标】几何概型.【考查方式】运用几何概型的相关知识求解区间内长度取值范围概率.【难易程度】容易【参考答案】23【试题解析】因为12x剟，所以||1x„即为11x剟的概率为23.12．如图是求2221232…+100的值的程序框图，则正整数n．第12题图【测量目标】循环结构的程序框图【考查方式】给出程序框图，阅读并运行程序再得出结果.【难易程度】容易【参考答案】100【试题解析】因为第一次循环21s，第二次循环2212s+…，输出结果为2222123100s…，所以循环了100次，则正整数100n.13．图中的三个直角三角形是一个体积为203cm的几何体的三视图，则hcm．第13题图【测量目标】三视图.【考查方式】直接给出一个几何体的三视图已知其体积求其高.【难易程度】容易【参考答案】4【试题解析】本题考查了三视图，考查了锥体体积的计算公式.由三视图得几何体为底面为直角边长为5和6的锥体，由正视图得锥体的高为h，所以11562032h，解得4h.14．过抛物线22(0)xpyp＞的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于,AB两点，,AB在x轴上的正射影分别为,DC．若梯形ABCD的面积为122，则p．【测量目标】抛物线的一般方程，抛物线的简单几何性质.【考查方式】先求抛物线的解析式在运用其简单几何性质求解未知参数.【难易程度】中等【参考答案】2【试题解析】设直线方程为2pyx，设A点纵坐标为1y、B点纵坐标为2y（12yy），（步骤1）又得2ABCD即12212()2yypyy（1），（步骤2）又因为梯形面积为122，则得1221()()242yyyy（2），（步骤3）由（1）、（2）联立得1212()()48yyyyp（*），由222xpypyx得22304pypy，（步骤4）由韦达定理得123yyp代入（*）解得2p.（步骤5）15．若数列na满足：对任意的nN，只有有限个正整数m使得man＜成立，记这样的m的个数为()na，则得到一个新数列()na．例如，若数列na是1,2,3,n…，…，则数列()na是0,1,2,1,n…，…．已知对任意的nN，2nan，则5()a，(())na．【测量目标】数列的创新运用.【考查方式】给出一个数列赋予其新性质求解数列中的未知项.【难易程度】中等【参考答案】22n【试题解析】222222123451,2,3,4,5,,naaaaaan…，易知其中小于5的只有两个121,4aa，故5()a2；（步骤1）类推得：1()0,a234()()()1,aaa569()()()2,aaa10()3,a，（步骤2）故1(())1,a22(())42,a223(())93,,(()).naan（步骤3）故填5()a2，(())na2n．（步骤4）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数2()3sin22sinfxxx．（Ⅰ）求函数()fx的最大值；（II）求函数()fx的零点的集合.【测量目标】诱导公式，三角函数的最值，函数的零点.【考查方式】给出一个三角函数先运用诱导公式化简再求解其最大值和零点所在的集合.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为π()3sin2(1cos2)2sin(2)1,6fxxxx（步骤1）所以，当ππ22π,62xk即ππ()6xkkZ时，函数()fx取得最大值1．（步骤2）（II）解法1由（Ⅰ）及()0fx得π1sin(2)62x（步骤3），所以ππ22π,66xk或π5π22π,66xk即π,xk或ππ.3xk（步骤4）故函数()fx的零点的集合为π|π,π.3xxkxkkZ或，（步骤5）解法2由()0fx得223sincos2sin,xxx，（步骤3）于是sin0,x或3cossin,xx即tan3.x（步骤4）由sin0x可知πxk；由tan3x可知ππ.3xk（步骤5）故函数()fx的零点的集合为π|π,π.3xxkxkkZ或，（步骤6）17．（本小题满分12分）如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图（Ⅰ）求直方图中x的值（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.第17题图【测量目标】频率分布直方图，分布列与数学期望.【考查方式】给出一个与实际问题有关的频率分布直方图先观察图求出未知参数，再运用分布列与数学期望的相关知识求解答案.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.020.10.370.391,x解得0.12x．（II）由题意知，(3,0.1)XB．（步骤1）因此033(0)C0.90.729PX，123(1)C0.10.90.243PX，223(2)C0.10.90.027PX，333(3)C0.10.001PX，（步骤2）故随机变量X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001X的数学期望为30.10.3EX．或10.24320.02730.0010.3EX．（步骤3）18．（本小题满分12分）如图所示，在正方体1111ABCDABCD中，E是棱DD1的中点.（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（II）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE?证明你的结论.第18题图【测量目标】线面角，线面平行的判定.【考查方式】给出空间几何体运用线面角及线面平行的性质求解.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）解法1设正方体的棱长为1．如图所示，以1,,ABADAA为单位正交基底建立空间直角坐标系．（步骤1）依题意，得1(1,0,0),(0,1,),(0,0,0),(0,1,0).2BEAD所以1(1,1,),(0,1,0).2BEAD（步骤2）在正方体1111ABCDABCD中，因为AD平面11ABBA，所以AD是平面11ABBA的一个法向量．（步骤3）设直线BE和平面11ABBA所成的角为，则||12sin3312BEADBEAD．即直线BE和平面11ABBA所成的角的正弦值为23．（步骤4）第18题（1）图（II）依题意，得1(0,0,1),A11(1,0,1),(1,1,).2BABE设,,xyzn是平面1ABE的一个法向量，（步骤5）则由10,0BABEnn，得0,10.2xzxyz所以xz，12yz．取2z，得2,1,2n．（步骤6）设F是棱11CD上的点，则(,1