2.4.1抛物线及其标准方程

一、定义若（d为点M到直线l的距离），则M的轨迹叫做抛物线,dMF··FMlN焦点准线符号语言：？如果定点正好在定直线上，点M的轨迹还是抛物线吗？平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点。定直线l叫做抛物线的准线。yO.xKFl二、抛物线标准方程的探究建系设点列式化简xyo··FMlNK设︱KF︱=p则F（，0），l：x=-p2p2设点M的坐标为（x，y），由定义得动点M限制条件：化简得y2=2px（p＞0）22)2(pxypx2方程y2=2px（p＞0）叫做抛物线的标准方程。其中p为正常数，它的几何意义是焦点到准线的距离它表示抛物线的焦点在x轴的右半轴上.yxo﹒【进一步在探究】图形焦点准线标准方程(,0)2pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2pF2px2px2py2py22ypx22ypx22xpy22xpyyxo﹒yxo﹒﹒yxoyxo﹒P0一次项定焦点，系数正负定半轴例1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0；(3)y2＝ax(a＞0)．应用一、相关量的计算例1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0；(3)y2＝ax(a＞0)．解析：(1)因为p＝7，所以焦点坐标是，准线方程是x＝；－72，072(2)抛物线方程化为标准形式为x2＝y，因为p＝，所以焦点坐标是，准线方程是y＝－；25150，110110(3)由a＞0知p＝，所以焦点坐标是，准线方程是x＝－a2a4，0a4归纳1：求抛物线准线方程或焦点坐标须先将方程化为标准形式。例2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是x=；41（3）焦点到准线的距离是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y归纳2：求抛物线方程先确定开口方向，再计算p值。即先定型，再定量。应用二、求抛物线方程例3、求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。．AOyx解：当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2=2py，得p=49当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2=-2px，得p=32∴抛物线的标准方程为x2=y或y2=x。2934归纳3：求解抛物线方程的两种方法:1.待定系数法;2.定义法。应用三、利用抛物线定义解决相关问题.例4.已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，C为抛物线上一点.（1）若CA⊥l于点A，且直线AF的斜率为,则|CF|=_______（2）若,则的面积为________CFCK2KFCxy823归纳4：充分借助抛物线定义可将较复杂的抛物线问题转化为简单几何求解。课堂小结一、基本知识：1.抛物线定义及标准方程的推导.2.标准方程的四种形式及其特征.3.已知标准方程求焦点和准线.4.根据已知条件求抛物线标准方程.5.能运用抛物线定义解决有关问题。二、思想方法：注重数形结合。全优课堂31页自学导引预习测评1-4例1，例2作业讨论题：1若抛物线y2=8x上一点M到原点的距离等于点M到准线的距离则点M的坐标是2已知定点A(3,2)和抛物线y2=2x,F是抛物线焦点，试在抛物线上求一点P,使PA与PF的距离之和最小，并求出这个最小值。3、已知点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。)221(，4、(1)M是抛物线y2=2px（P＞0）上一点，若点M的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是————————————X0+—2pOyx．FM．