戴维宁等效电路

§4－6戴维南定理由第二章已经知道，含独立电源的线性电阻单口网络，可以等效为一个电压源和电阻串联单口网络，或一个电流源和电阻并联单口网络。本章介绍的戴维宁定理和诺顿定理提供了求含源单口网络两种等效电路的一般方法，对简化电路的分析和计算十分有用。这两个定理是本章学习的重点。本节先介绍戴维南定理。戴维宁定理：含独立电源的线性电阻单口网络N，就端口特性而言，可以等效为一个电压源和电阻串联的单口网络[图(a)]。电压源的电压等于单口网络在负载开路时的电压uoc；电阻Ro是单口网络内全部独立电源为零值时所得单口网络No的等效电阻[图(b)]。图4－6uoc称为开路电压。Ro称为戴维宁等效电阻。在电子电路中，当单口网络视为电源时，常称此电阻为输出电阻，常用Ro表示；当单口网络视为负载时，则称之为输入电阻，并常用Ri表示。电压源uoc和电阻Ro的串联单口网络，称为戴维宁等效电路。当单口网络的端口电压和电流采用关联参考方向时，其端口电压电流关系方程可表为)44(ocouiRu戴维宁定理可以在单口外加电流源i，用叠加定理计算端口电压表达式的方法证明如下。在单口网络端口上外加电流源i,根据叠加定理，端口电压可以分为两部分组成。一部分由电流源单独作用(单口内全部独立电源置零)产生的电压u’=Roi[图(b)]，另一部分是外加电流源置零(i=0)，即单口网络开路时，由单口网络内部全部独立电源共同作用产生的电压u”=uoc[图(c)]。由此得到oco'uiRuuu此式与式(4－4)完全相同，这就证明了含源线性电阻单口网络，在端口外加电流源存在惟一解的条件下，可以等效为一个电压源uoc和电阻Ro串联的单口网络。oco'uiRuuu只要分别计算出单口网络N的开路电压uoc和单口网络内全部独立电源置零(独立电压源用短路代替及独立电流源用开路代替)时单口网络No的等效电阻Ro，就可得到单口网络的戴维宁等效电路。下面举例说明。例4－5求图4-8(a)所示单口网络的戴维宁等效电路。解：在单口网络的端口上标明开路电压uoc的参考方向，注意到i=0，可求得V3A2)2(V1ocu图4－8将单口网络内1V电压源用短路代替，2A电流源用开路代替，得到图(b)电路，由此求得6321oR根据uoc的参考方向，即可画出戴维宁等效电路，如图(c)所示。图4－8例4－6求图4-9(a)所示单口网络的戴维宁等效电路。解；标出单口网络开路电压uoc的参考方向，用叠加定理求得uoc为V)60e(30Ae4)15(V10A2)10(octtu图4－9将单口网络内的2A电流源和电流源分别用开路代替，10V电压源用短路代替，得到图(b)电路，由此求得戴维宁等效电阻为15510oR根据所设uoc的参考方向，得到图(c)所示戴维宁等效电路。其uoc和Ro值如上两式所示。te4图4－9例4－7求图4-10(a)单口网络的戴维宁等效电路。图4－10解：uoc的参考方向如图(b)所示。由于i=0，使得受控电流源的电流3i=0，相当于开路，用分压公式可求得uoc为V12V1861212ocu为求Ro，将18V独立电压源用短路代替，保留受控源，在a、b端口外加电流源i，得到图(c)电路。通过计算端口电压u的表达式可求得电阻Ro8)8()3(126)126(oiuRiiiu图4－10例4－8已知r=2，试求该单口的戴维宁等效电路。解：在图上标出uoc的参考方向。先求受控源控制变量i1A25V101i求得开路电压V4A221ocriu图4－11将10V电压源用短路代替，保留受控源，得到图(b)电路。由于5电阻被短路，其电流i1=0，致使端口电压u=(2)i1=0，与i为何值无关。由此求得00oiiuR这表明该单口等效为一个4V电压源，如图(c)所示。图4－11戴维宁定理在电路分析中得到广泛应用。当只对电路中某一条支路或几条支路(记为NL)的电压电流感兴趣时，可以将电路分解为两个单口网络NL与N1的连接，如图(a)所示。用戴维宁等效电路代替更复杂的含源单口N1，不会影响单口NL(不必是线性的或电阻性的)中的电压和电流。代替后的电路[图(b)]规模减小，使电路的分析和计算变得更加简单。注：网络内含有受控源等双口耦合元件时，应将两条支路放在同一单口网络内。例4－9求图4-13(a)所示电桥电路中电阻RL的电流i。解：断开负载电阻RL，得到图(b)电路，用分压公式求得)54(S434212ocuRRRRRRu图4－13将独立电压源用短路代替，得到图(c)电路，由此求得)64(43432121oRRRRRRRRR用戴维宁等效电路代替单口网络，得到图(d)电路，由此求得)74(LoocRRui图4－13从用戴维宁定理方法求解得到的图(d)电路和式(4－7)中，还可以得出一些用其它网络分析方法难以得出的有用结论。例如要分析电桥电路的几个电阻参数在满足什么条件下，可使电阻RL中电流i为零的问题，只需令式(4－7)分子为零，即0434212ocRRRRRRu由此求得)84(3241RRRR这就是常用的电桥平衡(i=0)的公式。根据此式可从已知三个电阻值的条件下求得第四个未知电阻之值。例4－10图4-14(a)是MF—30型万用电表测量电阻的电原理图。试用戴维宁定理求电表测量电阻时的电流I。图4－14解：万用电表可用来测量二端器件的直流电阻值。将被测电阻接于电表两端，其电阻值可根据电表指针偏转的角度，从电表的电阻刻度上直接读出。为了便于测量不同的电阻，其量程常分为R1,R10,R100,R1k等档，用开关进行转换。图(a)是一个含源线性电阻单口网络，可用戴维宁定理来简化电路分析。式中Imax=US/Ro是电表短路(Rx=0)时指针满偏转的电流。先将图中虚线部分用一个2k电阻来模拟(当2.8k电位器的滑动端位于最上端时，它是10k和2.5k电阻的并联)。图(b)是该电表的电路模型，可进一步简化为图(c)所示的电路。由此求得电表外接电阻Rx时的电流：maxooSoooS11IRRRURRRRRUIxxx上式表明，当被测电阻Rx由变化到0时，相应的电流I则从0变化到Imax；当被测电阻与电表内阻相等(Rx=Ro)时，I=0.5Imax，即指针偏转一半，停留在电表刻度的中间位置，当开关处于R1，R10，R100，R1k的不同位置时，可以求得电阻Ro分别为25，250，2500，25k左右，相应的满偏转电流Imax分别为50mA，5mA，0.5mA和50A(设US=1.25V)。若电池的实际电压US大于1.25V，则可调整2.8k电位器的滑动端来改变Imax，使指针停留在0处(称为电阻调零)。例4－11求图4-15(a)电路中电流I1和I2。图4－15解：图(a)是一个非线性电阻电路，但去掉两个理想二极管支路后的图(b)电路是一个含源线性电阻单口网络，可用戴维宁等效电路代替。由图(b)求得开路电压V3)A4(2V5V9636ocU由图(c)求得等效电阻8246363oR用3V电压源与8电阻的串联代替图(b)所示单口网络，得到图(d)所示等效电路。由于理想二极管D2是反向偏置，相当于开路，即I2=0，理想二极管D1是正向偏置，相当于短路，得到图(e)所示等效电路。由图(e)求得A2.0A7831I例4－12电路如图4-16(a)所示，其中g=3S。试求Rx为何值时电流I=2A，此时电压U为何值?图4－16解：为分析方便，可将虚线所示的两个单口网络N1和N2分别用戴维宁等效电路代替，到图(b)电路。单口N1的开路电压Uoc1可从图(c)电路中求得，列出KVL方程V103V20222)1(oc1oc1oc1UgUU解得V52V10oc1U为求Ro1，将20V电压源用短路代替，得到图(d)电路，再用外加电流源I计算电压U的方法求得Ro1。列出KVL方程IUIIgUU)2(32222)()1(解得1o1IUR再由图(e)电路求出单口N2的开路电压Uoc2和输出电阻Ro23V=A16+363+V36332ocU26363o2R最后从图(b)电路求得电流I的表达式为xxxRRRRRUUI1V821)V5(V3o2o1oc1oc2令I=2A，求得Rx=3。此时电压U为V7V5A2)1(1oc1oUIRUV73VV2)23()(oc2o2UIRRUx或