(完整版)数理统计复习总结-西北工业大学

1统计量与抽样分布1.1基本概念：统计量、样本矩、经验分布函数总体X的样本X1，X2，…，Xn，则T(X1，X2，…，Xn)即为统计量样本均值X样本方差212)(1niinXXnS修正样本方差212*)(11niinXXnS样本k阶原点矩,...)2,1(,11kXnAnikik样本k阶中心矩,...)2,1(,)(11kXXnBnikik经验分布函数)(,)()(xnxvxFnn其中Vn(x)表示随机事件}{xX出现的次数,显然))(,(~)(xFnBxVn,则有)()]([xFxFEn)](1)[(1)]([xFxFnxFDn补充：DXnnESn12DXESn2*22)(EXDXEX22211nniiSXXn二项分布B(n,p):),...,1,0(,)1(}{nkppCkXPknkknEX=npDX=np(1-p)泊松分布)(P:,...)1,0(,!}{kekkXPkEXDX均匀分布U(a,b):)(,1)(bxaabxf2baEX2)(121abDX指数分布:(),(0)()1,(0)xxfxexFxex1EX21DX正态分布),(2N:}2)(exp{21)(22xxfEX2DX22221()1nnnSnEnESn224222(1)()2(1)nnnSnDnDSn当0时，0EX22EX443EX2XE2)21(XD1.2统计量：充分统计量、因子分解定理、完备统计量、指数型分布族T是θ的充分统计量),...,,(21tTxxxfn与θ无关T是θ的完备统计量要使E[g(T)]=0,必有g(T)=0));,...,,((),...,,();()(21211nninixxxTgxxxhxfL且h非负T是θ的充分统计量),...,,()},...,,()(exp{)();(21211nnniixxxhxxxTbCxfT是θ的充分完备统计量),...,,()},...,,()(),...,,()(exp{)();(21212221111nnnniixxxhxxxTbxxxTbCxf),(21TT是),(21的充分完备统计量1.3抽样分布：2分布，t分布，F分布，分位数，正态总体样本均值和方差的分布，非正态总体样本均值的分布2分布：)(~...2222212nXXXn)0()2(21)(1222xxenxfnxnnE2nD22T分布：)(~/ntnYXT当n2时，ET=02nnDTF分布：),(~2121nnFnYnXF),(112nnFF补充：Z=X+Y的概率密度dyyyzfdxxzxfzfz),(),()(f(x,y)是X和Y的联合概率密度XYZ的概率密度dxxxzxfzfz),()()(xgy的概率密度)]'([))(()(11ygygfyfxy函数：01)(dxexx)()1(1)1(,)!1()(nnB函数：1011)1(),(dxxxB)()()(),(B1.4次序统计量及其分布：次序统计量、样本中位数X、样本极差RX(k)的分布密度：),...,2,1(),()](1[)]([)!()!1(!)(1)(nkxfxFxFknknxfknkxkX(1)的分布密度：1)](1)[()()1(nxxFxnfxfX(n)的分布密度：1)]()[()()(nxxFxnfxfn2参数估计2.1点估计与优良性：概念、无偏估计、均方误差准则、相合估计(一致估计)、渐近正态估计的均方误差：22(,)()()MSEEDE若是无偏估计，则(,)MSED对于的任意一个无偏估计量，有*DD，则*是的最小方差无偏估计，记MVUE相合估计(一致估计):limnnElim0nnD2.2点估计量的求法：矩估计法、最大似然估计法矩估计法：①求出总体的k阶原点矩:12(;,,...,)kkkmaEXxdFx②解方程组11nkkiiaXn(k=1,2,...,m)，得12(,,...,)kknXXX即为所求最大似然估计法：①写出似然函数1()(;)niiLfx，求出lnL及似然方程ln0iLi=1,2,...,m②解似然方程得到12(,,...,)inxxx，即最大似然估计12(,,...,)inXXXi=1,2,...,m补充：似然方程无解时，求出的定义域中使得似然函数最大的值，即为最大似然估计2.3MVUE和有效估计：最小方差无偏估计、有效估计T是的充分完备统计量，是的一个无偏估计*(|)ET为的惟一的MVUE最小方差无偏估计的求解步骤：①求出参数的充分完备统计量T②求出()ETg，则1()gT是的一个无偏估计或求出一个无偏估计，然后改写成用T表示的函数③综合，11[()]()EgTTgT是的MVUE或者：求出的矩估计或ML估计，再求效率，为1则必为MVUET是()g的一个无偏估计，则满足信息不等式'2[()][()]()gDTXnI，其中2ln(;)()fXIE或22ln(;)()0fXIE，(;)fX为样本的联合分布。最小方差无偏估计达到罗-克拉姆下界有效估计量效率为1无偏估计的效率：1()()eDnI是的最大似然估计，且是的充分统计量是的有效估计2.4区间估计：概念、正态总体区间估计(期望、方差、均值差、方差比)及单侧估计、非正态总体参数和区间估计一个总体的情况：2~(,)XN2已知，求的置信区间：00020~(0,1)XNXunn2未知，求的置信区间：*00*2~(1)(1)nnXStnXtnSnn已知，求2的置信区间：22222111222122()()()~()()()nnniiiiiiXXXnnn未知，求2的置信区间：22222111222122()()()~(1)(1)(1)nnniiiiiiXXXXXXnnn两个总体的情况：211~(,)XN，222~(,)YN2212,均已知时，求12的区间估计：22121212221221212()~(0,1)()XYNXYunnnn22212未知时，求12的区间估计：1212121212*2*2121122()(2)~(2)(1)(1)nnXYnnnntnnnnnSnS12,未知时，求2122：222211222122*2**2211112121212*2**12221222~(1,1)(1,1)(1,1)nnnnnnSSSFnnFnnFnnSSS非正态总体的区间估计：当n时，2(0,1)LnnSXNXuSnn1lim1nnnSS，故用Sn代替Sn-121~(0,1)111mXmmmnNunnnnmmnnn3统计决策与贝叶斯估计3.1统计决策的基本概念：三要素、统计决策函数及风险函数三要素：样本空间和分布族、行动空间（判决空间）、损失函数(,)Ld统计决策函数d(X):本质上是一个统计量，可用来估计未知参数风险函数：(,)[(,())]RdELdX是关于的函数3.2贝叶斯估计：先验分布与后验分布、贝叶斯风险、贝叶斯估计①求样本X=(X1,X2,...,Xn)的分布：1(|)(|)niiqxfx②样本X与的联合概率分布：(,)(|)()(|)()fxhxmxqx③求(,)fx关于x的边缘密度()(,)mxfxd④的后验密度为：(,)(|)()fxhxmx取2(,)()Ldd时的贝叶斯估计为：(|)(|)Exhxd贝叶斯风险为：22(,)()()[(,)]()(|)BRdEdRdERdEdhxd取2(,)()()Ldd时，贝叶斯估计为：[()|][()|]ExEx补充：()C的贝叶斯估计：取损失函数2(,)(())LdCd，则贝叶斯估计为()[()|]()(|)CECxChxd(,)(,)(|)(|)()(,)fxdfxExhxddmxfxd3.3minimax估计对决策空间中的决策函数d1(X),d2(X),...，分别求出在上的最大风险值max(,)Rd在所有的最大风险值中选取相对最小值，此值对应的决策函数就是最小最大决策函数。4假设检验4.1基本概念：零假设(H0)与备选假设(H1)、检验规则、两类错误、势函数零假设通常受到保护，而备选假设是当零假设被拒绝后才能被接受。检验规则：构造一个统计量T(X1,X2,...,X3)，当H0服从某一分布，当H0不成立时，T的偏大偏小特征。据此，构造拒绝域W第一类错误（弃真错误）：0{|}PTWH为真第二类错误（存伪错误）：0{|H}PTW为假势函数：()(()){}EXPXW1,()0,X..XWXW当0时，()为犯第一类错误的概率当1时，1()为犯第二类错误的概率4.2正态总体均值与方差的假设检验：t检验、X2检验、F检验、单边检验一个总体的情况：2~(,)XN2已知，检验0010H::H：00~(0,1)XUNn2未知，检验0010H::H：0*~(1)nXTtnSn已知，检验22220010H::H：22212()~()niiXn未知，检验22220010H::H：22212()~(1)niiXXn两个总体的情况：211~(,)XN，222~(,)YN22212未知时，检验012112H::H：12121212*2*2121122(2)~(2)(1)(1)nnnnnnXYTtnnnnnSnS12,未知时，检验2222012112H::H：2122*112*2~(1,1)nnSFFnnS单边检验：举例说明，2已知，检验0010H::H：构造10~(0,1)XUNn，给定显著性水平，有1{}PUu。当H0成立时0100defXXUUnn，因此1{}{}PUuPUu。故拒绝域为{}WUu4.3非参数假设检验方法：2拟合优度检验、科尔莫戈罗夫检验、斯米尔诺夫检验2拟合优度检验:0010::iiiiHppHpp22010(){(1)}miiiNinpWmrnp其中Ni表示样本中取值为i的个数，r表示分布中未知参数的个数科尔莫戈罗夫检验：0010:()():()()HFxFxHFxFx实际检验的是0()()nFxFx0,{limsup()()}nnnxWFxFxD斯米尔诺夫检验：01