2007江苏高考数学试题及答案

2007江苏高考数学试题及答案参考公式：n次独立重复试验恰有k次发生的概率为：()(1)kknknnPkCpp一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的。1．下列函数中，周期为2的是A．xy=sin2B．y=sin2xC．cos4xyD．y=cos4x2．已知全集U=Z，A=｛-1，0，1，2｝，B=｛x︱x2=x｝，则A∩CUB为A．｛-1，2｝B．｛-1，0｝C．｛0，1｝D．｛1，2｝3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x－2y=0，则它的离心率为A．5B．52C．3D．24．已知两条直线,mn，两个平面α，β，给出下面四个命题：①//,mnmn②//,,//mnmn③//,////mnmn④//,//,mnmn其中正确命题的序号是A．①、③B．②、④C．①、④D．②、③5．函数()sin3cos([,0])fxxxx的单调递增区间是A．5[,]6B．5[,]66C．[,0]3D．[,0]66．设函数f（x）定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x－1，则有A．132()()()323fffB．231()()()323fffC．213()()()332fffD．321()()()233fff7．若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x－2）+a2（x－2）2+a3（x－2）3，则a2的值为A．3B．6C．9D．128．设2()lg()1fxax是奇函数，则使f（x）0的x的取值范围是A．（-1，0）B．（0，1）C．（-∞，0）D．（-∞，0）∪（1，+∞）9．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则(1)'(0)ff的最小值为A．3B．52C．2D．3210．在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A=｛（x，y）︱x+y≤1且x≥0，y≥0｝，则平面区域{(,)|(,)}BxyxyxyA的面积为A．2B．1C．12D．14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。11．若13cos(),cos()55，.则tana·tanβ=.12．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有种不同选修方案。（用数值作答）13．已知函数f（x）=x3－12x+8在区间[-3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m=▲.14．正三棱锥P－ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是15．在平面直角坐标系xOY中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆2212516xy上，则sinsinsinACB。16．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则d=，其中t∈[0，60]。三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4分）18．（本小题满分12分）如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1，（1）求证：E，B，F，D1四点共面；（4分）（2）若点G在BC上，23BG，点M在BB1上，GMBF，垂足为H，求证：EM面BCC1B1；（4分）（3）用表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求tan。（4分）19．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:lyc交于P，Q。（1）若2OAOB，求c的值；（5分）（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）20．（本小题满分16分）已知｛an｝是等差数列，｛bn｝是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记Sn为数列｛bn｝的前n项和。（1）若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk-1=（m－1）a1；（4分）（2）若b3=ai（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列｛bn｝中每一项都是数列｛an｝中的项；（8分）（3）是否存在这样的正数q，使等比数列｛bn｝中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）21．（本小题满分16分）已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数2()fxbxcxd，32()gxaxbxcxd，方程f（x）=0有实根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根，反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根。（1）求d的值；（3分）（2）若a=0，求c的取值范围；（6分）（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围。（7分）参考答案1．D2．A3．A4．C5．D6．B7．B8．A9．C10．B11．1212．7513．3214．65515．5416．100sin60t17．解：（1）5次预报中恰有2次准确的概率为5222355210.8100.80.20.05.PC（2）5次预报中至少有2次准确的概率为55505161155101110.80.810.810.000320.00640.99.PPCC（3）“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为18．解法一：（1）如图：在DD1上取点N，使DN=1，连结EN，则AE=DN=1，CF=ND1=2因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE、CFD1N都为平行四边形。从而ENAD，FD1∥CN。又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD1∥BE。（2）如图，GM⊥BF，又BM⊥BC，所以∠BCM=∠CFB，BM=BC·tan∠CFB=BG·∠CFB=BC·231.32BCCF因为AEBM，所以ABME为平行四边形，从而AB∥EM又AB⊥平面BCC1B1，所以EM⊥平面BCC1B1（3）如图，连结EH因为MH⊥BF，EM⊥BF，所以BF⊥平面EMH，得EH⊥BF于是∠EHM是所求的二面角的平面角，即∠EHM=0因为∠MBH=∠CFB，所以MH=BM·sin∠MBH=BM·sin∠CFB2222331,1332tan13BCBMBCCFEMMH解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则13,0,1,0,3,2,3,3,3BEBFBD所以1BDBEBF故BDBEBF1、、共面又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面。（2）如图，设M（0，0，z）则20,,3CMz而0,3,2BF，由题设得23203GMBFz，得z=1因为M（0，0，1），E（3，0，1），有ME=（3，0，0）又10,0,3BB，0,3,0BC，所以10,0MEBBMEBC，从而ME⊥BB1，ME⊥BC故ME⊥BB1，平面BCC1B1（3）设向量,,3BPxy⊥截面EBFD1，于是,BPBEBPBF而3,0,1,0,3,2BEBF，得330,360BPBExBPBFy，解得x=-1，y=-2，所以1,2,3.BP又3,0,0BA⊥平面BCC1B1，所以BP和BA的夹角等于θ或л-θ（θ为锐角）于是1cos14BPBABPBA故tan1319．（1）设直线AB的方程为y=kx+c，将该方程代入y=x2得x2－kx－c=0令A（a，a2），B（b，b2），则ab=﹣c因为2222OAOBababcc，解得c=2，或c=﹣1（舍去）故c=2（2）由题意知,2abQc，直线AQ的斜率为22222AQacaabkaababa又r=x2的导数为r′=2x，所以点A处切线的斜率为2a因此，AQ为该抛物线的切线（3）（2）的逆命题成立，证明如下：设Q（x0，﹣c）若AQ为该抛物线的切线，则kAQ=2a又直线AQ的斜率为2200AQacaabkaxax，所以02aabaax得2ax0=a2+ab，因a≠0，有02abx20．解：设{}na的公差为d，由11221,ababa，知0,1dq，11daq（10a）（1）因为kmba，所以111111kaqamaq，111121kqmqmmq，所以1111111111kkaqammqSmaqq（2）23111,11ibaqaaiaq，由3iba，所以22111,120,qiqqiqi解得，1q或2qi，但1q，所以2qi，因为i是正整数，所以2i是整数，即q是整数，设数列{}nb中任意一项为11nnbaqnN，设数列{}na中的某一项mamN=1111amaq现在只要证明存在正整数m，使得nmba，即在方程111111naqamaq中m有正整数解即可，11221111,111nnnqqmqmqqqq，所以：222nmqqq，若1i，则1q，那么2111,222nnbbabba，当3i时，因为1122,abab，只要考虑3n的情况，因为3iba，所以3i，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{}nb中任意一项为11nnbaqnN与数列{}na的第222nqqq项相等，从而结论成立。（3）设数列{}nb中有三项,,,,,mnpbbbmnpmnpN成等差数列，则有2111111,nmpaqaqaq设,,,nmxpnyxyN，所以21yxqq，令1,2xy，则3210,qq2110qqq，因为1q，所以210qq，所以512q舍去负值，即存在512q使得{}nb中有三项13,,mmmbbbmN成等差数列。21．解（1）设0x是0fx的根，那么00fx，则0x是(())0gfx的根，则00,gfx即00g，所以0d。（2）因为0a，所以22,fxbxcxgxbxcx，则(())gfxfxbfxc=222bxcxbxbcxc=0的根也是0fxxbxc的根。（a）若0b，则0c，此时0fx的根为0，而(())0gfx的根也是0，所以0c，（b）若0b，当0c时，0fx的根为0，而(())0gfx的根也是0，当0c时，0fx的根为0和cb，而0bfxc的根不可能为0和cb，所以0bfxc必无实数根，所以2240,bcbc所以240,04ccc，从而04c所以当